Factorización de polinomios (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Divisibilidad de polinomios
- 1.1 Polinomios múltiplos y divisores
- 1.2 Polinomios irreducibles
2 Factorización de polinomios

Divisibilidad de polinomios

Polinomios múltiplos y divisores

La divisibilidad en el conjunto de los polinomios es muy similar a la .

Un polinomio $D(x)\,$ es divisor de otro, $P(x)\,$ y lo representaremos por $P(x)|Q(x)\;$ , si la división $P(x):\,D(x)\,$ es exacta. Es decir, cuando

$P(x)=\,D(x)\cdot C(x)\,$

En tal caso, diremos que $P(x)\,$ es divisible por $Q(x)\,$ . También diremos que $P(x)\,$ es un múltiplo de $D(x)\,$ .

Ejemplos:

$(3x+1) \cdot (x^2-5x+3) =3x^3-14x^2+4x+3 \Rightarrow (3x^3-14x^2+4x+3):(3x+1)=x^2-5x+3$

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio $P(x)\,$ es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior es divisor suyo.

Ejemplos:

Son polinomios irreducibles, entre otros:

Los de primer grado: $3x,\ x-3,\ 5x-3\ \cdots \;$
Los de segundo grado sin raíces: $x^2+1,\ 2x^2-3x+5 \cdots \;$

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Factorización de polinomios de grado 2

Factorización de polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado, $kx^2+mx+n\;$ , con raíces rales, $a\;$ y $b\;$ , se puede factorizar de la forma

$k(x-a)(x-b)\;$

Demostración:

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles

Factoriza los siguientes polinomios

a) $5x^2+5x-60\;$

b) $5x^3+5x^2-60x\;$

Solución:

El polinomio $5x^2+5x-60\;$ tiene dos raíces: $x_1=3,\ x_2=-4$ , que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado $5x^2+5x-60=0\;$ . Entonces:

$5x^2+5x-60=5(x-3)(x+4)\;$

El polinomio incompleto de grado 3, $5x^3+5x^2-60x\;$ , se puede descomponer de la siguiente manera:

$5x^3+5x^2-60x=x(5x^2+5x-60)=5x(x-3)(x+4)\;$

(Observa que primero hemos sacado factor común $x\;$ y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

Siempre que se pueda, sacaremos $x\;$ factor común.
Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz $x=a\;$ de un polinomio $P(x)\;$ , tendremos que $P(x)=(x-a)Q(x)\;$ , donde $Q(x)\;$ tiene un grado menos que $P(x)\;$ . (Ver raíces de un polinomio).

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

En algunos casos, como en el de los polinomios bicuadrados, que son polinomios de la forma $ax^4+bx^2+c\;$ , si podremos hallarle las raices, resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.

Ejemplos: Factorización de polinomios bicuadrados

Factoriza el siguiente polinomio: $P(x)=x^4 - 7x^2 + 6 \;\!$

Solución:

Resolvemos la ecuación bicuadrada: $x^4 - 7x^2 + 6 = 0\;\!$

$x^4 - 7x^2 + 6 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-7y+6=0$

$y = \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=6 \rightarrow x= \pm \sqrt 6 \end{cases}$

Soluciones: $-1,\, 1,\, -\sqrt 6,\, \sqrt 6\,\!$

Entonces, la factorización del polinomio es la siguiente:

$P(x)=(x+1)(x-1)(x+\sqrt 6)(x-\sqrt 6)$

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces los divisores del término independiente, hasta que nos quede un polinomio de segundo grado. Cuando estemos en este punto, aplicaremos la fórmula de la ecuación de segundo grado y obtendremos las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.

Ejemplo: Factorización de polinomios

Factoriza el siguiente polinomio:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!$

Solución:

Primero sacamos factor común $3x^2\,\!$ :

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 = 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)\,\!$

Ahora aplicamos Ruffini. Los divisores de $70\,\!$ son $1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 5,\ -5,\ \mbox{etc.}\,\!$

Empezaremos probando con el $1\,\!$

   | 1  -1  -39  109  -70
   |                   
  1|     1    0  -39   70
 --|-------------------
   | 1   0  -39   70  |0
                      |____

Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, $x=1\;$ y uno de los factores $(x-1)\;$ .

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

Seguimos aplicando Ruffini. Probamos con 1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz:

   | 1   0  -39   70
   |                   
  1|     1    1   38
 --|-----------------
   | 1   1   38 |108
                |____

El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:

   | 1   0  -39   70
   |                   
 -1|    -1    1   38
 --|-----------------
   | 1  -1  -38 |108
                |____

El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:

   | 1  0  -39   70
   |                   
  2|    2    4  -70
 --|---------------
   | 1  2  -35   |0
                 |____

Ya hemos encontrado otra raíz, $x=2\;$ , y el factor correspondiente, $(x-2)\;$ .

El polinomio quedará de la siguiente forma:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula de la ecuación de 2º grado:

$x^2+2x-35=0 \rightarrow x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 -4 \cdot (-35)}}{2}=\frac{-2 \pm 12}{2}=\begin{cases} x_1=-7 \\ x_2=5 \end{cases}$

Así, sus raíces son 5 y -7 y sus factores (x-5) y (x+7).

De esta manera:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x-5)(x+7)\,\!$

Con lo que queda descompuesto el polinomio.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Factorizaci%C3%B3n_de_polinomios_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Álgebra

 ===Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini===
-Para factorizar un polinomio mediante la [[Cociente de Polinomios. Regla de Ruffini (4ºESO-B)#División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini|regla de Ruffini]], aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces los divisores del término independiente, hasta que nos quede un polinomio de segundo grado. Cuando estemos en este punto, aplicaremos la fórmula de la ecuación de segundo grado y obtendremos las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.
+Para factorizar un polinomio mediante la regla de [[Ruffini]], aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces los divisores del término independiente, hasta que nos quede un polinomio de segundo grado. Cuando estemos en este punto, aplicaremos la fórmula de la ecuación de segundo grado y obtendremos las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.
+{{p}}
-<div style="background: white; padding:.75em; border:2px solid MediumBlue;border-left:4px solid MediumBlue;border-bottom:4px solid MediumBlue;">
+{{Ejemplo|titulo= Ejemplo: ''Factorización de polinomios''
-[[Image:ejemplo_blue.png|44px|left|ejercicio]]
+|enunciado=
-<font color="MediumBlue">'''Ejemplo: ''Factorización de polinomios'''''</font>
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 Factoriza el siguiente polinomio:
 ::<math>P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!</math>
-<div class="NavFrame" style="background: white; border: 0px solid #aaaaaa; padding:3px; margin-bottom:0em; margin-left:0em;">
+|sol=
-<div class="NavHead rad" align="right" style="background: WhiteSmoke;">''Solución:''</div><div class="NavContent" align="left">
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 Primero sacamos  factor común <math>3x^2\,\!</math>:
 :<math>P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 = 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)\,\!</math>
 Empezaremos probando con el <math>1\,\!</math>
-:{|
+<pre>
-|- style="height:50px"
+   | 1  -1  -39  109  -70
-|
+   |
-|align="center" style="width:25px; border-left:1px solid black"|1
+|     1    0  -39   70
-|align="center" style="width:25px"| -1
+ --|-------------------
-|align="center" style="width:25px"| -39
+   | 1   0  -39   70  |0
-|align="center" style="width:25px"|109
+                      |____
-|align="center" style="width:25px"| -70
+</pre>
-|-
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|1
-|align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"|&nbsp;
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|1
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-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|70
-|-
-|
-|align="center" style="border-left:1px solid black"|1
-|align="center"|0
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-|}
-Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, x=1 y uno de los factores (x-1).
+Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, <math>x=1\;</math> y uno de los factores <math>(x-1)\;</math>.
 :<math>P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!</math>
 Seguimos aplicando Ruffini. Probamos con 1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz:
-:{|
+<pre>
-|- style="height:50px"
+   | 1   0  -39   70
-|
+   |
-|align="center" style="width:25px; border-left:1px solid black"|1
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-|align="center" style="width:25px"| 0
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-|align="center" style="width:25px"| -39
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-|align="center" style="width:25px"|70
+                |____
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+</pre>
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|1
-|align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"|&nbsp;
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|1
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|1
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-|-
-|
-|align="center" style="border-left:1px solid black"|1
-|align="center"|1
-|align="center"|-38
-|align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"|32
-|}
 El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:
-:{|
-|- style="height:50px"
+<pre>
-|
+   | 1   0  -39   70
-|align="center" style="width:25px; border-left:1px solid black"|1
+   |
-|align="center" style="width:25px"| 0
+ -1|    -1    1   38
-|align="center" style="width:25px"| -39
+ --|-----------------
-|align="center" style="width:25px"|70
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-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|-1
+</pre>
-|align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"|&nbsp;
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|-1
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-|-
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 El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:
-:{|
+<pre>
-|- style="height:50px"
+   | 1  0  -39   70
-|
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+|    2    4  -70
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+ --|---------------
-|align="center" style="width:25px"| -39
+   | 1  2  -35   |0
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+                 |____
-|-
+</pre>
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|2
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-|}
-Ya hemos encontrado otra raíz, x=2, y el factor correspondieente, (x-2).
+Ya hemos encontrado otra raíz, <math>x=2\;</math>, y el factor correspondiente, <math>(x-2)\;</math>.
 El polinomio quedará de la siguiente forma:
 Con lo que queda descompuesto el polinomio.
+}}
-</div>
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