Composición de funciones (1ºBach)

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Función compuesta

La función compuesta es una función formada por la aplicación sucesiva de otras dos funciones. Formalmente:

Dadas dos funciones $f: X \rightarrow Y$ y $g: Y \rightarrow Z$ , donde la imagen de $f\;$ está contenida en el dominio de definición de $g\;$ , se define la función compuesta como:

$\begin{matrix} g \circ f : X & \rightarrow & Z \qquad \\ \qquad \quad x & \rightarrow & g(f(x)) \end{matrix}$

Se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

$\begin{matrix} X & \to & \,\,Y\;\; & \to & Z \\ x & \to & f(x) & \to & g(f(x)) \end{matrix}$

A $g \circ f$ se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra, no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

, es el resultado de la aplicación sucesiva de y de . En el ejemplo, @.

$g \circ f$ , es el resultado de la aplicación sucesiva de $f\;$ y de $g\;$ . En el ejemplo, $(g \circ f)(a)=$ @.

Ejemplo: Composición de funciones

Dadas las funciones

$f(x) = x^2 \,$

$g(x) = sen(x) \,$

a) Halla la función compuesta de $g\;$ y $f\;$ .

b) Halla la función compuesta de $f\;$ y $g\;$ .

Solución:

a) La función compuesta de $g\;$ y $f\;$ es:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(sen(x)) = (sen(x))^2=sen^2 (x) \,$

b) La función compuesta de $f\;$ y $g\;$ es:

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = sen(x^2) \,$

Obsérvese que las funciones obtenidas en ambos apartados son distintas. El orden en que se efectúe la composición afecta al resultado.

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Categorías: Matemáticas | Funciones

 }}
-== Ejemplo ==
+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Composición de funciones''
-Sean las funciones:
+|enunciado=Dadas las funciones
-: <math> f(x) = x^2 \,</math>
-: <math> g(x) = sin(x) \,</math>
-La '''función compuesta''' de ''g'' y de ''f'' que expresamos:
+::: <math> f(x) = x^2 \,</math>
-: <math> (f \circ g)(x) = f(g(x)) = (sin(x))^2 = sin^2 (x) \,</math>
+::: <math> g(x) = sen(x) \,</math>
-La interpretación de (''f'' o ''g'') aplicada a la variable ''x'' significa que primero tenemos que aplicar ''g'' a ''x'', con lo que obtendríamos un valor de paso
+:: a) Halla la función compuesta de <math>g\;</math> y <math>f\;</math>.
-: <math> z = g(x)=sin(x) \, </math>
+:: b) Halla la función compuesta de <math>f\;</math> y <math>g\;</math>.
+|sol=
+a) La función compuesta de <math>g\;</math> y <math>f\;</math> es:
+: <math> (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(sen(x)) = (sen(x))^2=sen^2 (x) \,</math>
+{{b}}
+----
+b) La función compuesta de <math>f\;</math> y <math>g\;</math> es:
+: <math> (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = sen(x^2) \,</math>
+Obsérvese que las funciones obtenidas en ambos apartados son distintas. El orden en que se efectúe la composición afecta al resultado.
+}}
-y después aplicamos ''f'' a ''z'' para obtener
-: <math> y = f(z) = z^2 = sin^2(x) \, </math>
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