Límite de una función en un punto (1ºBach)
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+ | *Una función <math>f(x)\;</math> tiene '''límite''' en un punto <math>c\;</math>, si existe un número <math>L \in \mathbb{R}</math> de manera que tanto su límite por la derecha, como su límite por la izquierda, existen y coinciden con <math>L\;</math>, es decir, cuando <math>L^+=L^-=L\;</math>. Simbólicamente: | ||
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|titulo1=La Madre del Cordero del Cálculo | |titulo1=La Madre del Cordero del Cálculo |
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Tabla de contenidos |
Límite de una función en un punto
El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.
Aproximación a un punto
- Decimos que
tiende a
por la izquierda (
) cuando a
se le dan valores menores que
, cada vez más próximos a
.
- Decimos que
tiende a
por la derecha (
) cuando a
se le dan valores mayores que
, cada vez más próximos a
.
- Decimos que
tiende a
(
) cuando a
se le dan valores cada vez más próximos a
.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Los puntos en la recta real.
- Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
- Aproximación a
y
.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Concepto de distancia entre dos puntos.
- Concepto de entorno de un punto.
- Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
- Aproximación a
y
.
Límites laterales y límite de de una función en un punto
Dada una función , cuando la variable independiente
se aproxima a un cierto punto
, ya sea por la derecha o por la izquierda,
va tomando valores que pueden aproximarse o no a un cierto punto. Diremos que:
- Una función
tiene límite por la izquierda en un punto
, si existe un número
de manera que cuando
los correspondientes valores
. Lo representaremos:
![\lim_{x \to c^-} f(x)=L^-](/wikipedia/images/math/f/c/3/fc30469003f3e3b924faa622486dc784.png)
- Una función
tiene límite por la derecha en un punto
, si existe un número
de manera que cuando
los correspondientes valores
. Lo representaremos:
![\lim_{x \to c^+} f(x)=L^+](/wikipedia/images/math/a/f/9/af923580491a6477c45ed7a3098259dd.png)
- Una función
tiene límite en un punto
, si existe un número
de manera que tanto su límite por la derecha, como su límite por la izquierda, existen y coinciden con
, es decir, cuando
. Simbólicamente:
![\lim_{x \to c^-} f(x)=\lim_{x \to c^+} f(x)=L](/wikipedia/images/math/3/7/d/37de19f62b921c9d895c97099642c929.png)
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Recordando el concepto de función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Conceptos de límite de una función por la derecha y por la izquierda de un punto.
- Concepto de límite de una función en un punto.
- Se puede calcular el límite en un punto independientemente de que el punto pertenezca o no al dominio de la función. Ejemplos.
Continuidad de una función en un punto
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
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Tipos de discontinuidades
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
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Ejemplos: Discontinuidad evitable
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
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![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
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![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
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Ejemplos: Discontinuidad de primera especie
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
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Ejemplos: Criterios de continuidad
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
40 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
21 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
17 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
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