Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)

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Teorema de los senos

Teorema de los senos

En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:

$\cfrac{a}{sen \, \hat A}=\cfrac{b}{sen \, \hat B}=\cfrac{c}{sen \, \hat C}$

Demostración:

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento $\overline{BO}$ hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro $\overline{BP}$ .

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que $\overline{BP}$ es un diámetro, y además los ángulos $\hat A$ y $\hat P$ son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento $\overline{BC}$ . Por la definición de seno, se tiene

$sen \, \hat A=sen \, \hat P=\cfrac{\overline{BC}}{\overline{BP}} = \cfrac{a}{2R}$

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

$\frac{a}{sen \, \hat A} = 2R$

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

Teorema del coseno

Teorema del coseno

En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:

$a^2=b^2+c^2-2bc \, cos \, \hat A$

Y analogamente:

$b^2=a^2+c^2-2ac \, cos \, \hat B$

$c^2=a^2+b^2-2bc \, cos \, \hat C$

Demostración:

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Resoluci%C3%B3n_de_tri%C3%A1ngulos_cualesquiera_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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-[[Imagen:terorema senos.png|263px|right|El teorema de los senos establece que ''a/sin(A)'' es constante.]]
+[[Imagen:terorema senos.png|200px|right|El teorema de los senos establece que ''a/sin(A)'' es constante.]]
-Dado el triángulo ''ABC'', denotamos por ''O'' su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento ''BO'' hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro ''BP''.
+Dado el triángulo '''ABC''', denotamos por '''O''' su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento <math>\overline{BO}</math> hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro <math>\overline{BP}</math>.
-Ahora, el triángulo ''PBC'' es recto, puesto que ''BP'' es un diámetro, y además los ángulos ''A'' y ''P'' son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento ''BC''. Por la definición de seno, se tiene
+Ahora, el triángulo '''PBC''' es recto, puesto que <math>\overline{BP}</math> es un diámetro, y además los ángulos <math>\hat A</math> y <math>\hat P</math> son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento <math>\overline{BC}</math>. Por la definición de seno, se tiene
 <center><math>sen \, \hat A=sen \, \hat P=\cfrac{\overline{BC}}{\overline{BP}} = \cfrac{a}{2R}</math></center>
-donde ''R'' es el radio de la circunferencia. Despejando ''2R'' obtenemos:
+donde '''R''' es el radio de la circunferencia. Despejando '''2R''' obtenemos:
 <center><math>\frac{a}{sen \, \hat A} = 2R</math></center>
-Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por ''A'' y otro que pase por ''C'', se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor ''2R'' y por tanto son iguales.
+Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por '''A''' y otro que pase por '''C''', se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor '''2R''' y por tanto son iguales.
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