Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)

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En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación: En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:
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-<center><math>a^2=b^2+c^2-2bc \, cos \, \hat A</math></center>+<center><math>c^2=a^2+b^2-2bc \, cos \, \hat C</math></center>
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<center><math>b^2=a^2+c^2-2ac \, cos \, \hat B</math></center> <center><math>b^2=a^2+c^2-2ac \, cos \, \hat B</math></center>
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|demo= |demo=
Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo <math>\gamma</math> es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando ''c'' es adyacente a dos ángulos agudos y cuando ''c'' es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso. Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo <math>\gamma</math> es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando ''c'' es adyacente a dos ángulos agudos y cuando ''c'' es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.
-'''Primer caso:''' ''c'' es adyacente a dos ángulos agudos. [[Imagen:CosenosPorPitagoras1.png|Caso 1: ''c'' es adyacente a dos ángulos agudos]]+'''Primer caso:''' ''c'' es adyacente a dos ángulos agudos. [[Imagen:CosenosPorPitagoras1.png|Caso 1: ''c'' es adyacente a dos ángulos agudos|200px]]
-Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que ''c² = h² + u²'' de modo que ''h² = a² - (b-u)²''.+Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que <math>c^2 = h^2 + u^2\,</math> de modo que <math>h^2 = a^2 - (b-u)^2\,</math>.
-Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos ''c² = u² + a² - b² + 2bu - u²'', es decir:+Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos <math>c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2\,</math>, es decir:
{{Ecuación|<math>c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,</math>|3=left}} {{Ecuación|<math>c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,</math>|3=left}}
Por la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b-u)/a, por tanto Por la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b-u)/a, por tanto
-{{Ecuación|<math> u = b- a \,\cos\gamma\,</math>|3=left}}+<center>{{Ecuación|<math> u = b- a \,\cos \hat C\,</math></center>
-Sustituimos el valor de u en la expresión para ''c²'' y simplificamos: ''c² = a²-b² +2b ''(''b-a ''cos(γ)), concluyendo+Sustituimos el valor de u en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos: <math>c^2 = a^2-b^2 +2b</math> (''b-a ''cos(γ)), concluyendo
-{{Ecuación|<math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma</math>|3=left}}+<center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C</math></center>
y terminando con esto la prueba del primer caso. y terminando con esto la prueba del primer caso.
-'''Segundo caso:''' ''c'' es adyacente a un ángulo obtuso. [[Imagen:CosenosPorPitagoras2.png|Caso 2: ''c'' es adyacente a un ángulo obtuso]]+'''Segundo caso:''' ''c'' es adyacente a un ángulo obtuso. [[Imagen:CosenosPorPitagoras2.png|Caso 2: ''c'' es adyacente a un ángulo obtuso|200px]]
Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente ''c² = h² + u²'' pero en este caso ''h² = a² - (b+u)²''. Combinando ambas ecuaciones obtenemos <math> c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2 </math> y de este modo: Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente ''c² = h² + u²'' pero en este caso ''h² = a² - (b+u)²''. Combinando ambas ecuaciones obtenemos <math> c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2 </math> y de este modo:
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De la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b+u)/a y por tanto De la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b+u)/a y por tanto
-{{Ecuación|<math> u = a\, \cos\gamma -b\,</math>.|3=left}}+<center>{{Ecuación|<math> u = a\, \cos\gamma -b\,</math></center>
Sustituimos en la expresión para ''c²'' y simplificamos ''c² = a²-b² -2b''(''a'' cos(γ)-''b''), concluyendo nuevamente Sustituimos en la expresión para ''c²'' y simplificamos ''c² = a²-b² -2b''(''a'' cos(γ)-''b''), concluyendo nuevamente
-{{Ecuación|<math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,</math>.|3=left}}+<center>{{Ecuación|<math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,</math></center>
Esto concluye la demostración. Esto concluye la demostración.
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[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

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Teorema de los senos

ejercicio

Teorema de los senos

En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:

\cfrac{a}{sen \, \hat A}=\cfrac{b}{sen \, \hat B}=\cfrac{c}{sen \, \hat C}
Demostración:
El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento \overline{BO} hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro \overline{BP}.

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que \overline{BP} es un diámetro, y además los ángulos \hat A y \hat P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento \overline{BC}. Por la definición de seno, se tiene

sen \, \hat A=sen \, \hat P=\cfrac{\overline{BC}}{\overline{BP}} = \cfrac{a}{2R}

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

\frac{a}{sen \, \hat A} = 2R
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

Teorema del coseno

{{Teorema|titulo=Teorema del coseno|enunciado=

En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:

c^2=a^2+b^2-2bc \, cos \, \hat C

Y analogamente:

b^2=a^2+c^2-2ac \, cos \, \hat B

a^2=b^2+c^2-2bc \, cos \, \hat A

|demo= Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo γ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.

Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos. Caso 1: c es adyacente a dos ángulos agudos

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que c^2 = h^2 + u^2\, de modo que h^2 = a^2 - (b-u)^2\,. Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2\,, es decir:

{{{fórmula}}} {{{ref}}}

Por la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b-u)/a, por tanto

{{Ecuación|u = b- a \,\cos \hat C\,

Sustituimos el valor de u en la expresión para c^2\, y simplificamos: c2 = a2 − b2 + 2b (b-a cos(γ)), concluyendo

c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C

y terminando con esto la prueba del primer caso.


Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso. Caso 2: c es adyacente a un ángulo obtuso

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente c² = h² + u² pero en este caso h² = a² - (b+u)². Combinando ambas ecuaciones obtenemos c2 = u2 + a2 − b2 − 2bu − u2 y de este modo:

|200pxc^2 = a^2 -b^2 -2bu\,

De la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b+u)/a y por tanto

{{Ecuación|u = a\, \cos\gamma -b\,

Sustituimos en la expresión para c² y simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluyendo nuevamente

{{{fórmula}}} {{{ref}}}

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