Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)

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Teorema de los senos

Teorema de los senos

En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:

$\cfrac{a}{sen \, \hat A}=\cfrac{b}{sen \, \hat B}=\cfrac{c}{sen \, \hat C}$

Demostración:

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento $\overline{BO}$ hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro $\overline{BP}$ .

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que $\overline{BP}$ es un diámetro, y además los ángulos $\hat A$ y $\hat P$ son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento $\overline{BC}$ . Por la definición de seno, se tiene

$sen \, \hat A=sen \, \hat P=\cfrac{\overline{BC}}{\overline{BP}} = \cfrac{a}{2R}$

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

$\frac{a}{sen \, \hat A} = 2R$

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

Teorema del coseno

Teorema del coseno

En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:

$c^2=a^2+b^2-2bc \, cos \, \hat C$

Y analogamente:

$b^2=a^2+c^2-2ac \, cos \, \hat B$

$a^2=b^2+c^2-2bc \, cos \, \hat A$

Demostración:

Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al teorema de Pitágoras cuando el ángulo $\hat A$ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso.

Primer caso: $\hat A$ es agudo.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que $c^2 = h^2 + u^2\,$ de modo que $h^2 = a^2 - (b-u)^2\,$ . Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos $c^2 = u^2 + a^2 - b^2 + 2bu - u^2\,$ , es decir:

$c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,$

Por la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b-u)/a, por tanto

$u = b- a \,\cos \hat C\,$

Sustituimos el valor de u en la expresión para $c^2\,$ y simplificamos: $c 2 = a 2 - b 2 + 2 b$ (b-a cos(γ)), concluyendo

$c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \hat C$

y terminando con esto la prueba del primer caso.

Segundo caso: $\hat A$ es obtuso.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que

$c^2 = h^2 + u^2\;$

pero en este caso

$h^2 = a^2 - (b+u)^2\,$

Combinando ambas ecuaciones obtenemos

c 2 = u 2 + a 2 - b 2 - 2 b u - u 2

y de este modo

$c^2 = a^2 -b^2 -2bu\,$

De la definición de coseno, se tiene cos \, \hat C = \cfrac{b+u}{a} y por tanto

$u = a\, \cos\gamma -b\,$

Sustituimos en la expresión para $c^2\,$ y simplificamos $c^2 = a^2-b^2 -2b\,$ (a cos(γ)-b), concluyendo nuevamente

$c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,$

Esto concluye la demostración.

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Categorías: Matemáticas | Geometría

 ==Teorema del coseno==
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 En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:
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-Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo <math>\gamma</math> es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando ''c'' es adyacente a dos ángulos agudos y cuando ''c'' es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.
+Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al [[teorema de Pitágoras]] cuando el ángulo <math>\hat A</math> es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso.
-'''Primer caso:''' ''c'' es adyacente a dos ángulos agudos. [[Imagen:CosenosPorPitagoras1.png|Caso 1: ''c'' es adyacente a dos ángulos agudos|200px]]
+'''Primer caso:<math>\hat A</math> es agudo. [[Imagen:CosenosPorPitagoras1.png|right|230px]]
 Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que <math>c^2 = h^2 + u^2\,</math> de modo que <math>h^2 = a^2 - (b-u)^2\,</math>.
-'''Segundo caso:''' ''c'' es adyacente a un ángulo obtuso. [[Imagen:CosenosPorPitagoras2.png|Caso 2: ''c'' es adyacente a un ángulo obtuso|200px]]
+'''Segundo caso:<math>\hat A</math> es obtuso. [[Imagen:CosenosPorPitagoras2.png|right|230px]]
-Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente ''c² = h² + u²'' pero en este caso ''h² = a² - (b+u)²''. Combinando ambas ecuaciones obtenemos <math> c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2 </math> y de este modo:
+Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que
-<center>|200px<math>c^2 = a^2 -b^2 -2bu\,</math></center>
+<center><math>c^2 = h^2 + u^2\;</math></center>
+pero en este caso
+<center><math>h^2 = a^2 - (b+u)^2\,</math></center>
+Combinando ambas ecuaciones obtenemos
+<center><math> c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2 </math></center>
+y de este modo
+<center><math>c^2 = a^2 -b^2 -2bu\,</math></center>
+De la definición de coseno, se tiene cos \, \hat C = \cfrac{b+u}{a}  y por tanto
-De la definición de coseno, se tiene cos(γ) = (b+u)/a  y por tanto
 <center><math> u = a\, \cos\gamma -b\,</math></center>
-Sustituimos en la expresión para ''c²'' y simplificamos ''c² = a²-b² -2b''(''a'' cos(γ)-''b''), concluyendo nuevamente
+Sustituimos en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos <math>c^2 = a^2-b^2 -2b\,</math>(''a'' cos(γ)-''b''), concluyendo nuevamente
 <center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,</math></center>
 Esto concluye la demostración.
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 {{p}}
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