Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)
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Sustituimos el valor de <math>u\,</math> en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos: | Sustituimos el valor de <math>u\,</math> en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos: | ||
- | <center><math>c^2 = a^2-b^2 +2b (b-a ''cos \, \hat C</math></center> | + | <center><math>c^2 = a^2-b^2 +2b (b-a cos \, \hat C)</math></center> |
concluyendo que | concluyendo que | ||
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|celda1= | |celda1= | ||
Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que | Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que | ||
- | + | {{p}} | |
- | <center><math>c^2 = h^2 + u^2\;</math></center> | + | <center><math>c^2 = h^2 + u^2\;</math> {{b4}} y {{b4}}<math>h^2 = a^2 - (b+u)^2\,</math></center> |
- | + | ||
- | pero en este caso | + | |
- | + | ||
- | <center><math>h^2 = a^2 - (b+u)^2\,</math></center> | + | |
Combinando ambas ecuaciones obtenemos | Combinando ambas ecuaciones obtenemos | ||
- | <center><math> c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2 </math></center> | + | <center><math> c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2= a^2 -b^2 -2bu\, </math></center> |
- | y de este modo | + | De la definición de coseno, se tiene: |
- | <center><math>c^2 = a^2 -b^2 -2bu\,</math></center> | + | <center><math> cos \, \hat C = \cfrac{b+u}{a} \quad \rightarrow \quad u = a\, \cos\gamma -b\,</math></center> |
- | De la definición de coseno, se tiene cos \, \hat C = \cfrac{b+u}{a} y por tanto | + | Sustituimos en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos |
- | <center><math> u = a\, \cos\gamma -b\,</math></center> | + | <center><math>c^2 = a^2-b^2 -2b(a cos \, \hat C -b)\,</math></center> |
- | Sustituimos en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos <math>c^2 = a^2-b^2 -2b\,</math>(''a'' cos(γ)-''b''), concluyendo nuevamente | + | concluyendo nuevamente |
<center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,</math></center> | <center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,</math></center> | ||
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Esto concluye la demostración. | Esto concluye la demostración. | ||
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