Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)

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(Diferencia entre revisiones)

 Sustituimos el valor de <math>u\,</math> en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos:
-<center><math>c^2 = a^2-b^2 +2b (b-a ''cos \, \hat C</math></center>
+<center><math>c^2 = a^2-b^2 +2b (b-a cos \, \hat C)</math></center>
 concluyendo que
 |celda1=
 Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que
+{{p}}
-<center><math>c^2 = h^2 + u^2\;</math></center>
+<center><math>c^2 = h^2 + u^2\;</math> {{b4}} y {{b4}}<math>h^2 = a^2 - (b+u)^2\,</math></center>
-pero en este caso
-<center><math>h^2 = a^2 - (b+u)^2\,</math></center>
 Combinando ambas ecuaciones obtenemos
-<center><math> c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2 </math></center>
+<center><math> c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2= a^2 -b^2 -2bu\, </math></center>
-y de este modo
+De la definición de coseno, se tiene:
-<center><math>c^2 = a^2 -b^2 -2bu\,</math></center>
+<center><math> cos \, \hat C = \cfrac{b+u}{a} \quad \rightarrow \quad u = a\, \cos\gamma -b\,</math></center>
-De la definición de coseno, se tiene cos \, \hat C = \cfrac{b+u}{a}  y por tanto
+Sustituimos en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos
-<center><math> u = a\, \cos\gamma -b\,</math></center>
+<center><math>c^2 = a^2-b^2 -2b(a cos \, \hat C -b)\,</math></center>
-Sustituimos en la expresión para <math>c^2\,</math> y simplificamos <math>c^2 = a^2-b^2 -2b\,</math>(''a'' cos(γ)-''b''), concluyendo nuevamente
+concluyendo nuevamente
 <center><math> c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,</math></center>
 }}
 Esto concluye la demostración.
 }}
 {{p}}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

Revisión de 08:06 2 mar 2009

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Teorema de los senos

Teorema de los senos

En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:

$\cfrac{a}{sen \, \hat A}=\cfrac{b}{sen \, \hat B}=\cfrac{c}{sen \, \hat C}$

Demostración:[Mostrar]

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento $\overline{BO}$ hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro $\overline{BP}$ .

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que $\overline{BP}$ es un diámetro, y además los ángulos $\hat A$ y $\hat P$ son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo segmento $\overline{BC}$ . Por la definición de seno, se tiene

$sen \, \hat A=sen \, \hat P=\cfrac{\overline{BC}}{\overline{BP}} = \cfrac{a}{2R}$

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

$\frac{a}{sen \, \hat A} = 2R$

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

Teorema del coseno

Teorema del coseno

En un triángulo cualquiera se cumplen la siguiente relación:

$c^2=a^2+b^2-2bc \, cos \, \hat C$

Y analogamente:

$b^2=a^2+c^2-2ac \, cos \, \hat B$

$a^2=b^2+c^2-2bc \, cos \, \hat A$

Demostración:[Mostrar]

Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al teorema de Pitágoras cuando el ángulo $\hat A$ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso.

Primer caso: $\hat A$ es agudo.

Consideremos la figura adjunta. La altura $h\,$ divide al triángulo ABC en dos triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras aplicado a ambos establece que