Números complejos: Definición (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Necesidad de ampliación del campo numérico
2 Unidad imaginaria
- 2.1 Potencias de la unidad imaginaria
3 El conjunto de los números complejos
- 3.1 Forma binómica de un número complejo
- 3.2 Opuesto y conjugado de un complejo
4 Representación gráfica de los números complejos

Necesidad de ampliación del campo numérico

Hay ecuaciones como

$x^2 +9 = 0 \,$

que no tienen solución en el conjunto de los números reales

$x^2 +9 = 0 \rightarrow x^2=-9 \rightarrow x=\pm \sqrt{-9}$ (no existe en $\mathbb{R}$ )

Vamos a definir un nuevo conjunto que amplie al conjunto de los números reales y en el cual estas ecuaciones si tengan solución. Ese conjunto va a ser el conjunto de los números complejos. Para ello vamos a empezar dando sentido a las raíces de números negativos.

Unidad imaginaria

Se denomina unidad imaginaria a $\sqrt{-1}$ . Se designa por la letra $i\,$

$i=\sqrt{-1}$

Con esta definición, la ecuación anterior ahora si tiene solución "imaginaria":

$x^2 +9 = 0 \rightarrow x^2=-9 \rightarrow x=\pm \sqrt{-9}=\pm 3 \, \sqrt{-1}=\pm \, 3i$

Potencias de la unidad imaginaria

$i^0=1\,$
$i^1=i\,$
$i^2=(\sqrt{-1} \, )^2=-1$
$i^3=i \cdot i^2=-i$
$i^4=i^2 \cdot i^2= (-1) \cdot (-1)=1$

A partir de $i^4\,$ se repiten cíclicamente los valores.

Ejemplo

$i^{21}=(i^4)^5 \cdot i=i$ (Al hacer la división entera: $21=4 \cdot 5 +1$ ).

El conjunto de los números complejos

Definimos el conjunto de los números complejos de la siguiente manera:

$\mathbb{C}=\big\{ a+bi \, / \, a, \, b \in \mathbb{R} \big\}$

Forma binómica de un número complejo

La expresión $a+bi\,$ se denomina forma binómica de un número complejo. En ella, a $a\,$ se le llama parte real y a $b\,$ parte imaginaria. Si escribimos $z=a+bi\,$ , entonces se dice que $Re(z)=a\,$ y $Im(z)=b\,$
Si $b=0\,$ , lo que tenemos es un número real, por tanto $\mathbb{R} \sub \mathbb{C}$ .
Si $b \ne 0\,$ , lo que tenemos no es un número real, es un número imaginario.
Si $a=0\,$ y $b \ne 0\,$ , se le llama número imaginario puro.
Dos números complejos en forma binómica son iguales si tienen iguales sus partes reeales y sus partes imaginarias.

$\mathbb{C} \mbox{ Complejos} \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{Reales} \begin{cases} \mathbb{Q} & \mbox{Racionales} \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{Enteros} \begin{cases} \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\ & \mbox{Enteros negativos} \\ & \mbox {Cero} \end{cases}\\ & \mbox{Fraccionarios} \end{cases}\\ & \mbox{Irracionales} \end{cases}\\ & \mbox{Imaginarios} \end{cases}$

Opuesto y conjugado de un complejo

Se define el opuesto de un complejo $a+bi\,$ como el número complejo $-a-bi\,$ .
Se define el conjugado de un complejo $z=a+bi\,$ como el número complejo $\bar z =a-bi\,$ .

Proposición

Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real tiene dos soluciones imaginarias que son números complejos conjugados

Demostración:

Veámoslo con un ejemplo:

$z^2-4z+13=0\,$

$z=\cfrac{4 \pm \sqrt{16-4 \cdot 13}}{2}=\cfrac{4 \pm \sqrt{-36}}{2}=\cfrac{4 \pm 6i}{2}= \begin{cases} 2+3i \\ 2-3i \end{cases}$

Representación gráfica de los números complejos

Para representar los números reales utilizabamos una recta, la recta real. Para representar los números complejos vamos a utilizar un plano, el plano complejo. ¿Por qué?. Muy simple, un número complejo en forma binómica $a+bi\,$ queda determinado por un par de números reales: su parte real, $a\,$ y su parte imaginaria, $b\,$ . De esta manera, el par $(a,b)\,$ representa las coordenadas de un punto del plano. Diremos que $(a,b)\,$ es el afijo del número complejo $a+bi\,$ .

Ahora, al eje X, lo llamaremos eje real, y al eje Y, eje imaginario.

También podemos representar al número complejo mediante un vector de origen $(0,0)\,$ y extremo $(a,b)\,$ .

Algunos fractales son representados en el plano complejo, como los conjuntos de Mandelbrot y de http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Julia Julia.

Video: Fractales... la geometría del caos (18´)

Sinopsis:

El ordenador los ha puesto de moda. Y sin embargo ya eran conocidos a principios de siglo. Nos referimos a los fractales. Son los objetos matemáticos más atractivos, espectaculares y enigmáticos. A medio camino entre la linea y el plano, entre el plano y el espacio, rompen hasta con el concepto clásico de dimensión. Sus dimensiones no son números enteros, de ahí su extraño nombre. Y sin embargo se pueden obtener mediante simples iteracciones, es decir, repitiendo indefinidamente procedimientos geométricos o funcionales muy simples. Han dado origen a una nueva geometría: la geometría fractal. Una nueva herramienta matemática capaz de arrojar un poco de luz sobre los fenómenos caóticos y de mostrarnos que incluso en el caos es posible encontrar un determinado orden.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_complejos:_Definici%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría | Números

 También podemos representar al número complejo mediante un vector de origen <math>(0,0)\,</math> y extremo <math>(a,b)\,</math>.
-Algunos [http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal fractales] son representados en el plano complejo, como los conjuntos de Mandelbrot y de Julia.
+Algunos [http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal fractales] son representados en el plano complejo, como los [http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Mandelbrot conjuntos de Mandelbrot] y de http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Julia Julia.
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Necesidad de ampliación del campo numérico

Unidad imaginaria

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