Números complejos: Forma polar (1ºBach)

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Dado un número complejo $z=a+bi\,$

El módulo de $z\,$ es la longitud del vector que lo representa, es decir, la distancia entre el afijo $(a,b)\,$ y el origen $(0,0)\,)$ . Se designa por $|z|\,$ .
El argumento de $z\,$ ( $z \ne 0$ ), es el ángulo que forma el vector con el eje X . Se designa por $arg(z)\,$ . (Si $z=0\,$ , su argumento es 0).

La forma polar del número complejo $z\,$ , se designa $r_\phi \,$ , siendo $r=|z|\,$ y $\phi=arg(z)\,$ .

Dado un número complejo $z=a+bi\,$ su forma polar $r_\phi \,$ se obtiene de la siguiente manera:

Ejemplo:Paso de forma binómica a polar

Pasa a forma polar el número complejo $z=2+2i\,$

Solución:

$r = |z| = \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$

$\phi=arctg \, \cfrac{2}{2}=45^\circ$

Por tanto:

$z=\sqrt{8}_{45^\circ}$

Dado un número complejo $r_\phi \,$ , su forma binómica $a+bi\,$ se obtiene de la siguiente manera:

Según lo visto en el apartado anterior:

$z=a+bi= r \cdot cos \, \phi + r \cdot sen \, \phi \cdot i=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)$

Se llama forma trigonométrica de un número complejo, a la expresión

$z=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)$

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