Números complejos: Operaciones (1ºBach)

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# <math>\,(3 + 4i) (2 - 5i)=6-15i+8i-20i^2=6-7i+20=26-7i</math> # <math>\,(3 + 4i) (2 - 5i)=6-15i+8i-20i^2=6-7i+20=26-7i</math>
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 +Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, moviendo los AFIJOS de z1 y/o z2 con el ratón, o bien introduciendo sus valores en la parte inferior de la escena.
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Revisión de 19:25 10 mar 2009

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Operaciones con números complejos en forma binómica

  • Suma: \,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • Resta: \,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
  • Multiplicación: \,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i
  • División: \,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi) (c - di)}{(c + di) (c - di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,, siempre que c+di\, no sea nulo.

ejercicio

Ejemplos: Operaciones con complejos en forma binómica

Efectúa las siguientes operaciones:
  1. \,(3 + 2i) + (5 + 6i)
  2. \,(6 - 5i) - (4 - 7i)
  3. \,(3 + 4i) (2 - 5i)
  4. \,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}
Solución:
  1. \,(3 + 2i) + (5 + 6i)=3 + 5 + 2i + 6i=8 + 8i
  2. \,(6 - 5i) - (4 - 7i)=6-4-5i+7i=2+2i
  3. \,(3 + 4i) (2 - 5i)=6-15i+8i-20i^2=6-7i+20=26-7i
  4. \,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}=\frac{(5 - 3i)(4-2i)}{(4 + 2i)(4-2i)}=\frac{(20-10i-12i+6i^2)}{(16-8i+8i-4i^2)}=\frac{(20-6-10i-12i)}{(16+4)}=\frac{14}{20}-\frac{22}{20}i

ejercicio

Actividad interactiva: Operaciones con números complejos

Actividad 1: Suma y resta de complejos en forma binómica.
Actividad:
En esta escena tienes representados los números complejos: z1=a+bi y z2=c+di

Así como su SUMA z1+z2 y su RESTA z1-z2 (Recuerda el paralelogramo que se forma con dos vectores, cuyas diagonales son la suma y la resta de los mismos, fíjate bien en la escena)

Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, moviendo los AFIJOS de z1 y/o z2 con el ratón, o bien introduciendo sus valores en la parte inferior de la escena.

Observa la escena y averigua cómo se SUMAN y se RESTAN números complejos.

Click aquí si no se ve bien la escena

EJERCICIO:

Efectúa las siguientes operaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:

  1. \,(3 + i) + (1 - 3i)
  2. \,(-5 + 3i) - (6 + 4i)
  3. \,(5 - 4i) + (-1 - i)
  4. \,(-3 + 4i)-(3 + i)
Actividad 2: Multiplicación de complejos en forma binómica.
Actividad:
En la escena adjunta se muestra la forma de realizar el producto de dos números complejos, z1·z2=(a+bi)(c+di)

Moviendo los AFIJOS de z1 y z2, o introduciendo los valores de a, b, c y d, puedes ir viendo los resultados.

Click aquí si no se ve bien la escena

EJERCICIO:

Efectúa las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:

  1. \,(-2 -2i) (1 + 3i)
  2. \,(2 + 3i)(5-6i)
  3. \,(2+3i)(-2-3i)
  4. \,(-1-2i)(-1+2i)
Actividad 3: División de complejos en forma binómica.
Actividad:
Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, o mover los puntos z1 y z2 para hallar otras divisiones.
Click aquí si no se ve bien la escena

EJERCICIO:

Efectúa las siguientes divisiones en tu cuaderno y compruébalas en la escena:


  1. \,\cfrac{2+4i}{4-2i}
  2. \,\cfrac{1-4i}{3+i}
  3. \,\cfrac{5+i}{-2-i}
  4. \,\cfrac{4-2i}{i}

Propiedades de las operaciones con números complejos

  • El 0 es el elemento neutro de la suma.
  • Todo número complejo, a+bi\,, tiene un opuesto, -a-bi\,
  • El 1 es el elemento neutro del producto.
  • Todo número complejo, a+bi\,, distinto de 0, tiene inverso, \cfrac{1}{a+bi}:
\cfrac{1}{a+bi}=\cfrac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\cfrac{a-bi}{a^2+b^2}=\cfrac{a}{a^2+b^2}-\cfrac{b}{a^2+b^2}i
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_complejos:_Operaciones_%281%C2%BABach%29"
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