Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)

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==Potencias de números complejos en forma polar== ==Potencias de números complejos en forma polar==
-{{Caja_Amarilla|texto=La potencia n-ésima de un compejo es el resultado de multiplicar dicho complejo por sí mismo n veces, por tanto, aplicando la fórmula del producto:+{{Teorema|titulo=Potencia de un complejo en forma polar|enunciado=:La potencia n-ésima de un compejo se obtiene de la siguiente manera:
-<center><math>(r_\alpha)^n =(r_\alpha) \cdot (r_\alpha) \cdot \cdots \cdot (r_\alpha)=(r \cdot r \cdots r)_{( \alpha + \alpha + \cdots + \alpha )}=(r^n)_{n \cdot \alpha}</math></center>+{{Caja|contenido=<math>(r_\alpha)^n =(r^n)_{n \cdot \alpha}</math>}}
 +|demo=La potencia n-ésima de un compejo es el resultado de multiplicar dicho complejo por sí mismo n veces, por tanto, aplicando la fórmula del producto:
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 +:<math>(r_\alpha)^n =(r_\alpha) \cdot (r_\alpha) \cdot \cdots \cdot (r_\alpha)=(r \cdot r \cdots r)_{( \alpha + \alpha + \cdots + \alpha )}=(r^n)_{n \cdot \alpha}</math>
}} }}
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:Esta fórmula debe su nombre al matemático francés [[Moivre| Abraham de Moivre]] (1667-1754). :Esta fórmula debe su nombre al matemático francés [[Moivre| Abraham de Moivre]] (1667-1754).
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-Basta aplicar la fórmula de la potencia de un complejo en forma polar y tener en cuenta la forma trigonométrica de un número complejo.+Basta aplicar la fórmula de la potencia de un complejo en forma polar y tener en cuenta la forma trigonométrica de un número complejo:
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 +:<math>(cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha)^n=(1_\alpha)^n=(1^n)_{n \cdot \alpha}=1_{n \cdot \alpha}=cos \, (n \, \alpha) + i \, sen \, (n \, \alpha)</math>
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Tabla de contenidos

Multiplicación de números complejos en forma polar

ejercicio

Producto de complejos en forma polar

El producto de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el producto de los módulos y el argumento la suma de los argumentos de los respectivos complejos.

r_\alpha \cdot s_\beta=(r \cdot s)_{\alpha + \beta}

Demostración:

ejercicio
Ejemplo:
2_{30^\circ} \cdot 3_{60^\circ}=(2 \cdot 3)_{30^\circ + 60^\circ}=6_{90^\circ}

ejercicio

Actividad interactiva: Multiplicación de complejos en forma polar

Efectúa las siguientes multiplicaciones de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:
a) 1_{150^\circ} \cdot 5_{30^\circ}
b) 3_{15^\circ} \cdot 2_{75^\circ}

Actividad:
Click aquí si no se ve bien la escena

Potencias de números complejos en forma polar

ejercicio

Potencia de un complejo en forma polar

La potencia n-ésima de un compejo se obtiene de la siguiente manera:

(r_\alpha)^n =(r^n)_{n \cdot \alpha}

Demostración:

La potencia n-ésima de un compejo es el resultado de multiplicar dicho complejo por sí mismo n veces, por tanto, aplicando la fórmula del producto:

(r_\alpha)^n =(r_\alpha) \cdot (r_\alpha) \cdot \cdots \cdot (r_\alpha)=(r \cdot r \cdots r)_{( \alpha + \alpha + \cdots + \alpha )}=(r^n)_{n \cdot \alpha}

ejercicio
Ejemplo:
(2_{30^\circ})^3 =(2^3)_{3 \cdot 30^\circ}=8_{90^\circ}

ejercicio

Actividad interactiva: Potencias de complejos en forma polar

Efectúa las siguientes potencias de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:
a) (1_{60^\circ})^4     b) (3_{90^\circ})^2     c) (2_120^\circ)^3     d) (1_{45^\circ})^7

Actividad:
Click aquí si no se ve bien la escena

Fórmula de Moivre

ejercicio

Fórmula de Moivre

(cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha)^n=cos \, (n \, \alpha) + i \, sen \, (n \, \alpha)

Esta fórmula debe su nombre al matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).
Demostración:

Basta aplicar la fórmula de la potencia de un complejo en forma polar y tener en cuenta la forma trigonométrica de un número complejo:

(cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha)^n=(1_\alpha)^n=(1^n)_{n \cdot \alpha}=1_{n \cdot \alpha}=cos \, (n \, \alpha) + i \, sen \, (n \, \alpha)

ejercicio
Ejemplo:
(2_{30^\circ})^3 =(2^3)_{3 \cdot 30^\circ}=8_{90^\circ}

División de números complejos en forma polar

ejercicio

Actividad interactiva: División de complejos en forma polar

Efectúa las siguientes divisiones de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:
a) 5_{150^\circ} : 2_{30^\circ}
b) 6_{225^\circ} : 3_{75^\circ}

Actividad:
Click aquí si no se ve bien la escena

Radicación de números complejos en forma polar

ejercicio

Actividad interactiva: Raíces de complejos en forma polar

Calcula las siguientes raíces de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:
a) \sqrt{4_{90^\circ}}     b) \sqrt[3]{8_{120^\circ}}      c) \sqrt[5]{5_{270^\circ}}     d) \sqrt[4]{6_{120^\circ}}

Actividad:
Click aquí si no se ve bien la escena
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