Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 10:59 12 mar 2009

Menú:

Enlaces internos	Para repasar o ampliar	Enlaces externos
Indice Descartes Manual Casio		WIRIS Geogebra Calculadoras

Tabla de contenidos

1 Multiplicación de números complejos en forma polar
2 Potencias de números complejos en forma polar
- 2.1 Fórmula de Moivre
3 División de números complejos en forma polar
4 Radicación de números complejos en forma polar

Multiplicación de números complejos en forma polar

Producto de complejos en forma polar

El producto de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el producto de los módulos y el argumento la suma de los argumentos de los respectivos complejos.

$r_\alpha \cdot s_\beta=(r \cdot s)_{\alpha + \beta}$

Demostración:

Expresando los complejos en forma trigonométrica: $r_\alpha = r \, (cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha) \, , \quad s_\beta = s \, (cos \, \beta + i \, sen \, \beta)$

$r_\alpha \cdot s_\beta=r \, (cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha) \cdot s \, (cos \, \beta + i \, sen \, \beta)=$

$=r \cdot s \, [cos \alpha \, \cos \beta + i \, cos \alpha \, sen \beta + i \, sen \, \alpha \, cos \, \beta + i^2 \, sen \, \alpha \, sen \, \beta ]=$

$=r \cdot s \, [cos \alpha \, \cos \beta - sen \, \alpha \, sen \, \beta+ i \, ( cos \alpha \, sen \beta + sen \, \alpha \, cos \, \beta )]=$

$=r \cdot s \, [cos (\alpha + \beta ) + i \, sen \, ( \alpha + \beta )]=(r \cdot s)_{\alpha + \beta}$

Ejemplo:

$2_{30^\circ} \cdot 3_{60^\circ}=(2 \cdot 3)_{30^\circ + 60^\circ}=6_{90^\circ}$

Actividad interactiva: Multiplicación de complejos en forma polar

Efectúa las siguientes multiplicaciones de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:

a) $1_{150^\circ} \cdot 5_{30^\circ}$

b) $3_{15^\circ} \cdot 2_{75^\circ}$

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Potencias de números complejos en forma polar

Potencia de un complejo en forma polar

La potencia n-ésima de un compejo se obtiene de la siguiente manera:

$(r_\alpha)^n =(r^n)_{n \cdot \alpha}$

Demostración:

La potencia n-ésima de un compejo es el resultado de multiplicar dicho complejo por sí mismo n veces, por tanto, aplicando la fórmula del producto:

$(r_\alpha)^n =(r_\alpha) \cdot (r_\alpha) \cdot \cdots \cdot (r_\alpha)=(r \cdot r \cdots r)_{( \alpha + \alpha + \cdots + \alpha )}=(r^n)_{n \cdot \alpha}$

Ejemplo:

$(2_{30^\circ})^3 =(2^3)_{3 \cdot 30^\circ}=8_{90^\circ}$

Actividad interactiva: Potencias de complejos en forma polar

Efectúa las siguientes potencias de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:

a) $(1_{60^\circ})^4$ b) $(3_{90^\circ})^2$ c) $(2_{120^\circ})^3$ d) $(1_{45^\circ})^7$

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Fórmula de Moivre

Fórmula de Moivre

$(cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha)^n=cos \, (n \, \alpha) + i \, sen \, (n \, \alpha)$

Esta fórmula debe su nombre al matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).

Demostración:

Basta aplicar la fórmula de la potencia de un complejo en forma polar y tener en cuenta la forma trigonométrica de un número complejo:

$(cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha)^n=(1_\alpha)^n=(1^n)_{n \cdot \alpha}=1_{n \cdot \alpha}=cos \, (n \, \alpha) + i \, sen \, (n \, \alpha)$

Ejemplo:

$(2_{30^\circ})^3 =(2^3)_{3 \cdot 30^\circ}=8_{90^\circ}$

División de números complejos en forma polar

División de complejos en forma polar

La división de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el cociente de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos de los respectivos complejos.

$\cfrac{r_\alpha}{s_\beta}=\Big( \cfrac{r}{s} \, \Big)_{\alpha - \beta}$

Demostración:

Actividad interactiva: División de complejos en forma polar

Efectúa las siguientes divisiones de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:

a) $5_{150^\circ} : 2_{30^\circ}$

b) $6_{225^\circ} : 3_{75^\circ}$

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Radicación de números complejos en forma polar

Actividad interactiva: Raíces de complejos en forma polar

Calcula las siguientes raíces de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:

a) $\sqrt{4_{90^\circ}}$ b) $\sqrt[3]{8_{120^\circ}}$ c) $\sqrt[5]{5_{270^\circ}}$ d) $\sqrt[4]{6_{120^\circ}}$

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_complejos:_Operaciones_en_forma_polar_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría | Números

 ==División de números complejos en forma polar==
+{{Teorema|titulo=División de complejos en forma polar|enunciado=La división de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el cociente de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos de los respectivos complejos.
+{{Caja|contenido=<math>\cfrac{r_\alpha}{s_\beta}=\Big( \cfrac{r}{s} \, \Big)_{\alpha - \beta}</math>}}
+|demo=
+}}
+{{p}}
 {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''División de complejos en forma polar''|cuerpo=
 {{ai_cuerpo
 }}
 {{p}}
 ==Radicación de números complejos en forma polar==
 {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Raíces de complejos en forma polar''|cuerpo=

Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión de 10:59 12 mar 2009

Tabla de contenidos

Multiplicación de números complejos en forma polar

Potencias de números complejos en forma polar

Fórmula de Moivre

División de números complejos en forma polar

Radicación de números complejos en forma polar

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas