Transformaciones elementales de funciones (1ºBach)

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Revisión de 18:49 12 mar 2009

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Tabla de contenidos

1 Traslación vertical y horizontal
2 Simetrías
3 Dilatación y contracción
4 Actividades

Traslación vertical y horizontal

Traslación vertical: Sea $f(x)\;$ una función y $k>0\;$ un número real, entonces la gráfica de la función $f(x)+k\;$ se obtiene a partir de la de $f(x)\;$ desplazándola $k\;$ unidades hacia arriba y la de $f(x)-k\;$ desplazándola $k\;$ unidades hacia abajo.

Traslación horizontal: Sea $f(x)\;$ una función y $k>0\;$ un número real, entonces la gráfica de la función $f(x+k)\;$ se obtiene a partir de la de $f(x)\;$ desplazándola $k\;$ unidades hacia la izquierda y la de $f(x-k)\;$ desplazándola $k\;$ unidades hacia la derecha.

Traslaciones horizontales y verticales Descripción:

En esta escena podrás ver la representación conjunta una función y su transformada por traslación horizontal o vertical.

Traslaciones

Traslación vertical de una función seno (15'39") Sinopsis:

Representa la función: $f(x)=2+sen(x)\;$ .

Traslación vertical de una función coseno (14'01") Sinopsis:

Representa la función: $f(x)=1+cos(x)\;$ .

Traslación horizontal de una función coseno (16'45") Sinopsis:

Representa la función: $f(x)=cos(2x+ \cfrac{\pi}{2})$ .

Traslación horizontal de una función seno (19'09") Sinopsis:

Representa la función: $f(x)=sen(2x+ \cfrac{\pi}{2})$ .

Simetrías

Simetría respecto del eje X: Las gráficas de las funciones $f(x)\;$ y $-f(x)\;$ son simétricas respecto del eje de abscisas.

Simetría respecto del eje Y: Las gráficas de las funciones $f(x)\;$ y $f(-x)\;$ son simétricas respecto del eje de ordenadas.
Simetría respecto del origen: Las gráficas de las funciones $f(x)\;$ y $-f(-x)\;$ son simétricas respecto del origen de coordenadas.

Simetrías Descripción:

En esta escena podrás ver la representación conjunta una función y su simétrica.

Funciones pares e impares (14'06") Sinopsis:

La función "f" se dice "par" si f(-x) = f(x), y se dice "impar" si f(-x) = -f(x). Si "f" es par, su gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas. Si "f" es impar, su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas. Obvio: si Dom f. no es simétrico respecto al punto "0", la función "f" no es par ni impar.

Dilatación y contracción

Vertical:

Si $k>1\;$ , la gráfica de la función $k \cdot f(x)\;$ es una dilatación vertical de la gráfica de $f(x)\;$ .
Si $0<k<1\;$ , la gráfica de la función $k \cdot f(x)\;$ es una contracción vertical vertical de la gráfica de $f(x)\;$ .

Horizontal:

Si $k>1\;$ , la gráfica de la función $f(k \cdot x)\;$ es una contracción horizontal de la gráfica de $f(x)\;$ .
Si $0<k<1\;$ , la gráfica de la función $f(k \cdot x)\;$ es una dilatación horizontal de la gráfica de $f(x)\;$ .

Dilataciones y contracciones Descripción:

En esta escena podrás ver la representación conjunta una función y su transformada por dilatación o contracción.

Dilataciones y contracciones

Dilataciones y contracciones horizontales de una función coseno (35'01") Sinopsis:

Representa las funciones:

1) $f(x)=cos(2x)\;$

2) $f(x)=cos(\cfrac{x}{2})\;$

Dilataciones y contracciones verticales de una función coseno (34'39") Sinopsis:

Representa las funciones:

1) $f(x)=2\,cos(x)\;$

2) $f(x)=\cfrac{1}{2}\,cos(x)\;$

Dilataciones y contracciones de una función seno (40'12") Sinopsis:

Representa las funciones:

1) $f(x)=2\,sen(x)\;$

2) $f(x)=sen(2x)\;$

2) $f(x)=3\,sen(\cfrac{x}{2})\;$

Actividades

Transformaciones de funciones Descripción:

En esta escena podrás practicar las transformaciones de funciones. Se te propondrán algunos ejercicios.

Transformaciones de funciones

Grafica de una función valor absoluto desplazada y estirada. (5´08") Sinopsis:

Representa $y=2|x+3|+2\;$ a partir de la gráfica de $y=|x|\;$

Ecuación de una función valor absoluto estirada y reflejada (3´21") Sinopsis:

Determina la ecuación de una función tipo valor absoluto a partir de su gráfica, describiendo las transformaciones sufridas a partir de la gráfica de $y=|x|\;$ .

Ecuación de una función valor absoluto reflejada y comprimida (4'05") Sinopsis:

Halla la ecuación de la función que resulta de reflejar sobre el eje X y comprimir verticalmente en un factor de 8/3, la función $y=|x|\;$ .

Transformaciones de parábolas (15'48") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica como representar funciones del tipo f(x)=ax^2+bx+c utilizando la traslación de ejes.

Transformaciones de funciones de proporcionalidad inversa (29'17") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica como representar funciones hiperbólicas expresadas de la forma f(x)=a/(x+b) + c, utilizando un algoritmo general.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Transformaciones_elementales_de_funciones_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Funciones

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-En esta escena tienes la gráfica de la función <math>f(x) = x^2\;</math> (en verde) y la de <math>f(x)+1=x^2+1\;</math> (en amarillo).
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-Prueba a cambiar el valor de <math>k\;</math> y  compáralas con <math>f(x)\;</math>:
-*<math>k=2 \ \rightarrow \ f(x)+2=x^2+2 </math>.
-*<math>k=-3 \ \rightarrow \ f(x)-3=x^2-3</math>
-Prueba a cambiar también la función <math>f(x)=x^2\;</math> por otras funciones, por ejemplo, <math>f(x)=x^3\;</math>.
-No olvides pulsar "Intro" al cambiar cada función.
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-Prueba a cambiar la función <math>f(x)=x^2-2x\;</math> por otras funciones, por ejemplo, <math>f(x)=\sqrt{x}\;</math>. (Para la raíz cuadrada debes escribir '''sqrt(x)''').
-No olvides pulsar "Intro" al cambiar cada función.
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-==Dilatación y contracción==
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-*Si <math>0<k<1\;</math>, la gráfica de la función <math>k \cdot f(x)\;</math> es una '''contracción''' o achatamiento vertical de la gráfica de <math>f(x)\;</math>.
-*Si <math>-1<k<0\;</math>, la gráfica de la función <math>k \cdot f(x)\;</math> es la combinacion de una '''contracción''' y una '''simetría''' respecto del eje X.
-*Si <math>k<-1\;</math>, la gráfica de la función <math>k \cdot f(x)\;</math> es la combinacion de una '''dilatación''' y una '''simetría''' respecto del eje X.
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-En esta escena tienes la gráfica de la función <math>f(x) = \sqrt{x}\;</math> (en verde) y la de su dilatada <math>2 \cdot f(x)=2 \cdot \sqrt{x} \;</math> (en amarillo).
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-Prueba a cambiar el valor de <math>k\;</math>:
-*<math>k=\cfrac{1}{2} \ \rightarrow \ \cfrac{1}{2} \cdot f(x)=\cfrac{1}{2} \cdot \sqrt{x} \ </math>. Obtendrás una contracción de <math>f(x)\;</math>.
-*<math>k=-\cfrac{1}{2} \ \rightarrow \ -\cfrac{1}{2} \cdot f(x)=-\cfrac{1}{2} \cdot \sqrt{x} \ </math>. Obtendrás una contracción de <math>f(x)\;</math>, combinada con simetría respecto del eje X.
-*<math>k=-2 \ \rightarrow \ -2 \cdot f(x)=-2 \cdot \sqrt{x} \ </math>. Obtendrás una dilatación de <math>f(x)\;</math>, combinada con simetría respecto del eje X.
-Prueba a cambiar la función <math>f(x)=\sqrt{x}\;</math> por otras funciones, por ejemplo, <math>f(x)=sen(x)\;</math>.
-No olvides pulsar "Intro" al cambiar cada función.
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-==Traslación horizontal==
-{{Caja_Amarilla|texto=Sea <math>f(x)\;</math> una función y <math>k>0\;</math> un número real, entonces la gráfica de la función <math>f(x+k)\;</math> se obtiene a partir de la de <math>f(x)\;</math> desplazándola <math>k\;</math> unidades hacia la izquierda y la de <math>f(x-k)\;</math> desplazándola <math>k\;</math> unidades hacia la derecha.}}
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-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Traslación horizontal de una función''|cuerpo=
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-|enunciado='''Actividad 1.'''  Representación gráfica de una función <math>f(x)\;</math> cualquiera y de su transformada <math>f(x \pm k)</math>.
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-En esta escena tienes la gráfica de la función <math>f(x) = x^2+x-5\;</math> (en verde) y la de <math>f(x+1)=(x+1)^2+(x+1)-5\;</math> (en amarillo).
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Analisis/El_pinta_graficas/grafic_4c.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Prueba a cambiar el valor de <math>k\;</math> y compáralas con <math>f(x)\;</math>:
-*<math>Sumar \ k=2 \ \rightarrow \ f(x+2)=(x+2)^2+(x+2)-5 \ , \  f(x)-3=(x-3)^2+(x-3)-5</math>.
-*<math>Restar \ k=3 \ \rightarrow \ f(x-3)=(x-3)^2+(x-3)-5</math>.
-Prueba a cambiar también la función <math>f(x)=x^2+x-5\;</math> por otras funciones, por ejemplo, <math>f(x)=|x|\;</math>. (La función valor absoluto debes escribirla '''abs(x)''').
-No olvides pulsar "Intro" al cambiar cada función.
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-==Simetría respecto del eje Y==
-{{Caja_Amarilla|texto=Las gráficas de las funciones <math>f(x)\;</math> y su opuesta, <math>f(-x)\;</math>, son simétricas respecto del eje de ordenadas.}}
-{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Función simétrica respecto del eje Y''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1.'''  Representación gráfica de una función <math>f(x)\;</math> cualquiera y de su simétrica <math>f(-x)\;</math>.
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-En esta escena tienes la gráfica de la función <math>f(x) = x^2-2x\;</math> (en verde) y la de su simétrica <math>f(-x)=(-x)^2-2(-x)\;</math> (en amarillo).
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Analisis/El_pinta_graficas/grafic_4d.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Prueba a cambiar la función <math>f(x)=x^2-2x\;</math> por otras funciones, por ejemplo, <math>f(x)=\cfrac{1}{x}\;</math>.
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 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]

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