Plantilla:Funciones logarítmicas (1ºBach)

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Revisión de 18:57 12 mar 2009

Tabla de contenidos

1 Función logarítmica de base a
- 1.1 Propiedades
2 El modelo logarítmico
3 Calculadora
- 3.1 Logartitmo decimal
- 3.2 Logartitmo neperiano

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Función logarítmica de base a

Sea $a>0 \ , (a \ne 1)$ un número real. Se define la función logarítmica de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \quad \\ \, \quad x & \rightarrow & log_a \, x \end{matrix}$

La función logarítmica de base $e = 2,7182...\;$ (número e) es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por $ln \, x$ . La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por $log \, x$ (sin especificar la base).

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Propiedades

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en $\mathbb{R}{}_*^+$ .
Pasan por $(1,0)\;$ y $(a,1)\;$ .
Si $a>1\;$ son crecientes y si $0<a<1\;$ son decrecientes. Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice $\sqrt[n]{x}$ .
La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta $y=x\;$ .

Representación gráfica de logaritmos en varias bases:
el rojo representa el logaritmo en base e,
el verde corresponde a la base 10,
y el púrpura al de la base 1,7.
Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1, 0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos (a, 1) para la base a, debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.

Actividad Interactiva: Función logarítmica

Actividad 1. Representación gráfica de distintas funciones logarítimicas y comparación con la función exponencial con la misma base.

Actividad:

En esta escena tienes las gráfica de las funciones:

a) $y = log_2 \, x\;$ (en amarillo); b) $y = a^x \;$ (en verde)

Click aquí si no se ve bien la escena

Cambia con los controles el valor de $a\;$ (no olvides pulsar "Intro") y comprueba en la escena anterior que las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:

Todas pasan por los punto $(1,0)\;$ y $(a,1)\;$ , donde $a\;$ es la base.
Si la base $a>1\;$ , son crecientes y si $0<a<1\;$ decrecientes.
Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base.
Las gráficas son simétricas respecto de la recta $y = x$ (en rojo).

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El modelo logarítmico

Ejemplo: Modelo logarítmico

Los científicos modelan la respuesta humana a estímulos (como sonido, luz o presión) por medio de funciones logarítmicas. El psicólogo Gustav Fechner formuló la ley como

$k \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)$

donde $S\;$ es la intensidad subjetiva del estímulo, $I\;$ la intensida física del estímulo, $I_0\;$ la intensidad física umbral y $k\;$ es una constante que difiere en cada estímulo sensorial.

Por ejemplo, la percepción de la sonoridad $B\;$ , en decibelios (dB), de un sonido con intensidad física $I\;$ en $W / m 2$ está dada por

$B= 10 \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)$

donde $I_0\;$ la intensidad física de un sonido apenas audible (umbral). Encuentra el nivel de sonoridad (en dB) de un sonido cuya intensidad física $I\;$ es 100 veces la de $I_0\;$ .

Solución:

Partimos del hecho de que $I= 100 \, I_0$ , entonces, sustituyendo en la fórmula de la percepción sonora, tendremos: