Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)

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*'''Primer método:''' *'''Primer método:'''
#Dibuja el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} arrastrando con el ratón, a partir del punto 1 (verás sus componentes en la parte superior). #Dibuja el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} arrastrando con el ratón, a partir del punto 1 (verás sus componentes en la parte superior).
-#Dibuja el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{a}+\overrightarrow{v}</math>}} arrastrando con el ratón desde el punto 2 (verás sus componentes en la parte superior).+#Dibuja el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}</math>}} arrastrando con el ratón desde el punto 2 (verás sus componentes en la parte superior).
*'''Segundo método:''' *'''Segundo método:'''
#Dibuja el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} arrastrando con el ratón, a partir del punto 3 (verás sus componentes en la parte inferior). #Dibuja el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} arrastrando con el ratón, a partir del punto 3 (verás sus componentes en la parte inferior).
-#Dibuja el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{a}+\overrightarrow{v}</math>}} arrastrando con el ratón, desde el punto 3 (verás sus componentes en la parte inferior).+#Dibuja el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}</math>}} arrastrando con el ratón, desde el punto 3 (verás sus componentes en la parte inferior).
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-Observa que el vector suma {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{a}+\overrightarrow{v}</math>}} es igual en ambos casos.+
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-Para sumar dos vectores por este segundo método, los vectores sumandos u y v se dibujan con el origen común, y formando un paralelogramo con {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{a}+\overrightarrow{v}</math>}} es una diagonal del paralelogramo con su origen común a {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y a {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}+
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 +Observa que el vector suma {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}</math>}} es igual en ambos casos.
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 +Para sumar dos vectores por este segundo método, los vectores sumandos u y v se dibujan con el origen común, y formando un paralelogramo con {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}, el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{a}+\overrightarrow{v}</math>}} es una diagonal del paralelogramo con su origen común a {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}} y a {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}}
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Tabla de contenidos

Vectores

Vectores fijos

Un vector fijo es un segmento orientado que queda determinado por un punto origen, A y otro punto extremo, B. Lo simbolizamos \overrightarrow{AB}.

Características de un vector:

  • El módulo del vector \overrightarrow{AB} es la longitud del segmento \overline{AB}, se representa por |\overrightarrow{AB}|.
  • La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquiera de sus paralelas.
  • Cada dirección admite dos sentidos opuestos: el que va de A a B y el que va de B a A.

Vector nulo

El vector nulo es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos \overrightarrow{0}.

Vectores opuestos

Dos vectores, \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, son opuestos si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos \overrightarrow{u}=-\overrightarrow{v}.

Vectores opuestos: \overrightarrow{u}=-\overrightarrow{v}

Vectores equipolentes. Vectores libres

Dos vectores, \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos). Lo simbolizaremos \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}

Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como representante del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama vector libre. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: \overrightarrow{u} \, , \overrightarrow{v} \, , ...

Vectores equipolentes

\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}

ejercicio

Actividad interactiva: Vectores

Actividad 1: Módulo, dirección y sentido de un vector fijo.

Actividad:
En la escena puedes ver varios vectores fijos.
  1. ¿Cuáles de ellos crees que tienen la misma dirección? (Para comprobarlo puedes pulsar el botón azul del "control" rectas.)
  2. De los que tienen la misma dirección ¿cuáles tienen el mismo sentido?
  3. Te parece que hay vectores en la escena con el mismo módulo?
  4. Dibuja en tu cuaderno varios vectores fijos.
Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: Vectores equipolentes.

Actividad:
Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Para comprobarlo, se unen sus orígenes y sus extremos respectivos. Si el polígono resultante es un paralelogramo, los vectores son equipolentes.
  1. Comprueba si los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{CD} son equipolentes. Para ello pincha y arrastra los puntitos amarillos que ves en A y B.
  2. Comprueba si los vectores \overrightarrow{EF} y \overrightarrow{GH} son equipolentes.
  3. Dibuja en tu cuaderno dos vectores que sean equipolentes y otros dos que no lo sean, dibujando , para demostrarlo, los polígonos correspondientes
Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 3: Vectores libres.

Actividad:
Encierra en cada caja los vectores que te parezcan equipolentes al que ya está dentro. (Para ello pincha y arrastra el puntito negro que ves en el origen de cada vector. Puedes usar el zoom si lo necesitas.)

¿Cuántos vectores libres se obtienen?

Click aquí si no se ve bien la escena

Operaciones con vectores

Producto de un vector por un número

El producto de un número real k\, por un vector \overrightarrow{v} es otro vector k\overrightarrow{v} que tiene las siguientes características:

  • Módulo: |k\overrightarrow{v}|=|k| \cdot |\overrightarrow{v}| (|k|\, es el valor absoluto del número real k\,)
  • Dirección: la misma que \overrightarrow{v}.
  • Sentido: el mismo que \overrightarrow{v} si k>0\, y opuesto si k<0\,.

\overrightarrow{v}=2 \overrightarrow{u} \qquad \overrightarrow{w}=- \frac{1}{2} \overrightarrow{u}

Suma y resta de vectores

Suma de vectores:

Dados dos vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, su suma es otro vector, \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}, que tiene como origen el origen de \overrightarrow{u} y por el extremo, el extremo de \overrightarrow{v}.

ejercicio

Actividad interactiva: Suma de vectores

Actividad 1: En la escena siguiente vas a dibujar la suma de dos vectores por 2 métodos.

Actividad:

  • Primer método:
  1. Dibuja el vector \overrightarrow{v} arrastrando con el ratón, a partir del punto 1 (verás sus componentes en la parte superior).
  2. Dibuja el vector \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} arrastrando con el ratón desde el punto 2 (verás sus componentes en la parte superior).
  • Segundo método:
  1. Dibuja el vector \overrightarrow{v} arrastrando con el ratón, a partir del punto 3 (verás sus componentes en la parte inferior).
  2. Dibuja el vector \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} arrastrando con el ratón, desde el punto 3 (verás sus componentes en la parte inferior).
Click aquí si no se ve bien la escena


Observa que el vector suma \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} es igual en ambos casos.

Para sumar dos vectores por este segundo método, los vectores sumandos u y v se dibujan con el origen común, y formando un paralelogramo con \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, el vector \overrightarrow{a}+\overrightarrow{v} es una diagonal del paralelogramo con su origen común a \overrightarrow{u} y a \overrightarrow{v}

Resta de vectores:

Para restar dos vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, sumamos al vector \overrightarrow{u} el opuesto de \overrightarrow{v}. Es decir, \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u} + (- \overrightarrow{v}).

Método del paralelogramo:

Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v} y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente.

Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, otro vector \overrightarrow{w} es combinación lineal de ellos si podemos encontrar dos números reales a y b tales que

\overrightarrow{w}=a \cdot \overrightarrow{u}+ b \cdot \overrightarrow{v}

En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector \overrightarrow{w} es combinación lineal de los vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}, siendo los coeficientes a=3\, y b=2\,.

La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, un vector \overrightarrow{w} es combinación lineal de otros tres \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} y \overrightarrow{z} si podemos encontrar 3 números reales a, b y c tales que

\overrightarrow{w}=a \cdot \overrightarrow{u}+ b \cdot \overrightarrow{v}+ c \cdot \overrightarrow{v}

ejercicio

Actividad interactiva: Combinación lineal de vectores

Actividad 1: En la escena siguiente vas a dibujar los vectores \overrightarrow{u}=4\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} y \overrightarrow{v} = -2\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}.

Se dice entonces que los vectores \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v} son combinación lineal de \overrightarrow{x} e \overrightarrow{y}.

Actividad:
Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio 1: \overrightarrow{u}=4\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y}

  1. Cambia el valor n=4\,. Así se obtiene el vector 4\overrightarrow{x}
  2. Cambia el valor m=2\,. Así se obtiene el vector 2\overrightarrow{y}
  3. Arrastra el punto B, trazando una paralela al vector \overrightarrow{y}
  4. Arrastra el punto C, trazando una paralela al vector \overrightarrow{x}
  5. Prolongando estas paralelas suficientemente obtienes un paralelogramo cuyos lados son los vectores 4\overrightarrow{x} y 2\overrightarrow{y}. Arrastra el punto A para dibujar la diagonal que representa al vector \overrightarrow{u}=4\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y}

Ejercicio 2: \overrightarrow{v} = -2\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}

  1. Pon ahora n = -2\, para dibujar el vector -2\overrightarrow{x}
  2. Arrastra el punto D, trazando una paralela al vector \overrightarrow{y}
  3. Arrastra el punto E, trazando una paralela al vector \overrightarrow{x}
  4. Prolongando estas paralelas suficientemente obtienes una paralelogramo cuyos lados son los vectores -2\overrightarrow{x} e \overrightarrow{y}. Arrastra el punto A, de nuevo, para dibujar la diagonal que representa al vector \overrightarrow{v} = -2\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}

Actividad 2: En la escena siguiente vas a expresar un vector \overrightarrow{v} como combinación lineal de otros dos, \overrightarrow{x} e \overrightarrow{y}.

Actividad:
Click aquí si no se ve bien la escena
  1. Colocamos \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y} y \overrightarrow{v} con el origen común en el punto P, para ello pulsa en los botones inferiores para dar los valores n=1, m=1, p=1.
  2. Desde el extremo de v trazamos primero una paralela al vector \overrightarrow{x}, y luego una paralela al vector \overrightarrow{y}.
  3. Prolongamos los vectores \overrightarrow{x} e \overrightarrow{y}, cambiando los valores de n y m, hasta que corten a las paralelas.
  4. Ya tenemos el paralelogramo, donde \overrightarrow{v}=n\overrightarrow{x}+m\overrightarrow{y}, esto es, ya tenemos escrito \overrightarrow{v} como combinación lineal de \overrightarrow{x} e \overrightarrow{y}.
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Vectores:_Definici%C3%B3n_y_operaciones_%281%C2%BABach%29"
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