Puntos y vectores el plano (1ºBach)
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Línea 46: | Línea 46: | ||
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y_2-y_1=\lambda \, (y_3-y_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} | y_2-y_1=\lambda \, (y_3-y_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} | ||
- | \end{cases}</math> | + | \end{cases} |
+ | </math> | ||
Igualando ambas expresiones de <math>\lambda \,</math>, se obtiene lo que buscamos. | Igualando ambas expresiones de <math>\lambda \,</math>, se obtiene lo que buscamos. | ||
Línea 53: | Línea 54: | ||
==Punto medio de un segmento== | ==Punto medio de un segmento== | ||
+ | {{Teorema|titulo=Punto medio de un segmento|enunciado= | ||
+ | :Las coordenadas del puinto medio, <math>M\,</math>, de un segmento de extremos <math>A(x_1,y_1)\,</math> y <math>B(x_2,y_2)\,</math> son: | ||
+ | <center><math>M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)</math></center> | ||
+ | |demo= | ||
+ | [[Imagen:puntomedio.gif|right]]Sea <math>M=(x_3,y_3)\,</math> el punto medio del segmento {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overline{AB}</math>}}. Tenemos: | ||
+ | |||
+ | :<math>\overrightarrow{AM}=\cfrac{1}{2} \, \overrightarrow{AB} \rightarrow (x_3-x_1, y_3-y_1)=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1, y_2-y_1) \rightarrow </math> | ||
+ | :<math>\rightarrow | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | x_3-x_1=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1) \rightarrow 2(x_3-x_1)=x_2-x_1 \rightarrow x_3=\cfrac{x_1+x_2}{2} | ||
+ | \\ | ||
+ | y_3-y_1=\cfrac{1}{2} \, (y_2-y_1) \rightarrow 2(y_3-y_1)=y_2-y_1 \rightarrow y_3=\cfrac{y_1+y_2}{2} | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Con lo que obtenemos lo que buscabamos. | ||
+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
==Simétrico de un punto respecto de otro== | ==Simétrico de un punto respecto de otro== | ||
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] |
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Tabla de contenidos |
Sistema de referencia en el plano
Un sistema de referencia del plano consiste en una terna , donde
es un punto fijo, llamado origen, y
una base de vectores del plano.
Vector de posición de un punto
- En un sistema de referencia
, cada punto
del plano tiene asociado un vector fijo
, llamado vector de posición del punto
.
- Si el vector
tiene coordenadas
respecto de la base
, el punto
tendrá coordenadas
respecto del sistema de referencia
.
Vector de dirección de una recta
- Una recta queda determinada por un punto y un vector que fije su dirección, a dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
- Dos puntos
y
de una recta determinan un vector de dirección de la misma,
.
Coordenadas del vector que une dos puntos
Coordenadas del vector que une dos puntos
- Dados dos puntos del plano de coordenadas
y
, respecto de un sistema de referencia
, entonces:
![\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)](/wikipedia/images/math/8/5/c/85c5e86647f25851852c93de7cbfc090.png)
Demostración:
Como
![\overrightarrow{AB}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-y_2,x_1-y_1)](/wikipedia/images/math/7/4/3/743b6c77b02b4bec562417a9186b9e8f.png)
Condición para que tres puntos estén alineados
Condición para que tres puntos estén alineados
- Los puntos del plano
,
y
, están alineados si se cumple:
![\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}](/wikipedia/images/math/d/2/9/d299259c601a66db8f7eab63c4db29d5.png)
Demostración:
Los puntos del plano ,
y
, están alineados si los vectores
y
tienen la misma dirección.
Ahora, esto ocurre si los vectores son proporcionales:
![\lambda \,](/wikipedia/images/math/0/7/1/07110254746dcae91bc441539c119e0e.png)
Punto medio de un segmento
Punto medio de un segmento
- Las coordenadas del puinto medio,
, de un segmento de extremos
y
son:
![M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)](/wikipedia/images/math/c/0/a/c0a222dac5ea3aa6190f1b3b877c33d1.png)