La circunferencia (1ºBach)

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1 Circunferencia
2 Ecuación de la circunferencia
3 Posiciones relativas de una recta y de una circunferencia
4 Posiciones relativas de dos circunferencias

Circunferencia

La circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , es el lugar geométrico de los puntos $X\,$ , cuya distancia al centro es $r\,$ .

$\big \{X \, , \; d(X,O)=r \big \}$

Ecuación de la circunferencia

De la anterior definición, utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos:

La ecuación de la circunferencia de centro $O(a,b)\,$ y radio $r\,$ , es:

$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$

Proposición

La ecuación de una circunferencia de centro $O(a,b)\,$ y radio $r\,$ , es:

$x^2+y^2+Ax+By+C=0 \,$

donde: $A=-2a \, , \; B=-2b \, , \; C=a^2+b^2-r^2$ .

Demostración:[Mostrar]

Corolario

Dada la circunferencia de ecuación $x^2+y^2+Ax+By+C=0 \,$ , su centro y su radio vienen dados por:

$O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2}) \quad , \quad r=\sqrt{\big( \cfrac{A}{2} \big)^2+\cfrac{B}{2} \big)^2-C}$

Demostración:[Mostrar]

Actividad Interactiva: Ecuación de la circunferencia

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la ecuación de la circunferencia de centro $O(-3,0)\,$ y radio $r=5\,$ .

Actividad:[Mostrar]

Posiciones relativas de una recta y de una circunferencia

Una recta $r: \, Ax+By+C=0$ y una circunferencia $s: \, x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0$ pueden ser:

Secantes: si se cortan en 2 puntos.
Tangentes: si se cortan en un punto.
Exteriores: si no se cortan.

Los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema: $\begin{cases} Ax+By+C=0 \\ x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0 \end{cases}$

Actividad Interactiva: Posición relativa de recta y circunferencia

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la posición relativa de la recta $r: \, 2x-y+1=0$ y la circunferencia $s: \, x^2+y^2-2x-2y-2=0$ .

Actividad:[Mostrar]

Posiciones relativas de dos circunferencias

Dos circunferencias pueden ser:

Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)

Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)

Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)

Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)

Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)

Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. En realidad no se trata de dos circunferencias distintas, sino de una misma. Si dos circunferencias se cortan en más de dos puntos, necesariamente son circunferencias coincidentes.

Si sus ecuaciones son:

$\begin{cases} r: \; x^2+y^2+Ax+By+C=0 \\ s: \; x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0 \end{cases}$

los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema.

Actividad Interactiva: Posición relativa de dos circunferencias

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la posición relativa de las circunferencias $r: \, x^2+y^2+6x+2y+1=0$ y la circunferencia $s: \, x^2+y^2-2x-4y+1=0$ .

Actividad:[Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_circunferencia_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 {{p}}
 ==Posiciones relativas de dos circunferencias==
-{{Caja_Amarilla|texto=Dos circunferencias <math>r: \, x^2+y^2+Ax+By+C=0</math> y una circunferencia <math>s: \, x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0</math> pueden ser:
+{{Caja_Amarilla|texto=Dos circunferencias pueden ser:
 [[Imagen:Circunferencias.png|160px|right]]
 *'''Coincidentes''', si tienen el mismo centro y el mismo radio. En realidad no se trata de dos circunferencias distintas, sino de una misma. Si dos circunferencias se cortan en más de dos puntos, necesariamente son circunferencias coincidentes.
-Los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema: <math>
+Si sus ecuaciones son:
+<math>
 \begin{cases}
-x^2+y^2+Ax+By+C=0
+r: \; x^2+y^2+Ax+By+C=0
 \\
-x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0
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+los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema.
 }}
 {{p}}
 {{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Posición relativa de dos circunferencias''|cuerpo=
 {{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' En esta escena vamos a hallar la posición relativa de las circunferencias <math>r: \, x^2+y^2+2x=0</math> y la circunferencia <math>s: \, x^2+y^2+2x-8y-26=0</math>.
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 |actividad=
 Para poder comprobar los resultados en la escena tenemos que hallar sus centros y sus radios:
 {{p}}
-:<math>r: \, x^2+y^2+2x=0\; \rightarrow \; \begin{cases}
+:<math>r: \, x^2+y^2+6x+2y+1=0\; \rightarrow \; \begin{cases}
-O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2})=(1,1) \; \rightarrow \; a=1  \, , \; b=1
+O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2})=(-3,1)
 \\
 \\
-r=\sqrt{\big( \cfrac{A}{2} \big)^2+\cfrac{B}{2} \big)^2-C}=\sqrt{1^2+1^2+2}=2
+r=\sqrt{\big( \cfrac{A}{2} \big)^2+\cfrac{B}{2} \big)^2-C}=\sqrt{3^2+1^2-1}=3
+\end{cases}</math>
+:<math>r: \, x^2+y^2-2x-4y+1=0\; \rightarrow \; \begin{cases}
+O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2})=(1,2)
+\\
+\\
+r=\sqrt{\big( \cfrac{A}{2} \big)^2+\cfrac{B}{2} \big)^2-C}=\sqrt{1^2+2^2-1}=2
 \end{cases}</math>
 <center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/circunferencia/circunferencia_tres_1.html
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/circunferencia/circunferencia_tres_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
+<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/circunferencia/circunferencia_tres_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
 Los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema:
 <center><math>
 \begin{cases}
-y=2x+1
+x^2+y^2+6x+2y+1=0
 \\
-x^2+y^2-2x-2y-2=0
+x^2+y^2-2x-4y+1=0
 \end{cases}
 </math></center>
-Lo resolvemos por sustitución:
+Sustituyendo la segunda ecuación por la suma de ambas, obtenemos el siguiente sistema equivalente:
+<center><math>
+\begin{cases}
+x^2+y^2+6x+2y+1=0
+\\
+x-2y+2=0
+\end{cases}  \; \rightarrow \;
+\begin{cases}
+x^2+y^2+6x+2y+1=0
+\\
+x-y+1=0
+\end{cases}   \; \rightarrow \;
+\begin{cases}
+x^2+y^2+6x+2y+1=0
+\\
+y=2x+1
+\end{cases}
+</math></center>
+que resolvemos por sustitución:
-<center><math>x^2+(2x+1)^2-2x-2(2x+1)-2=0\;</math></center>
+<center><math>x^2+(2x+1)^2+6x+2(2x+1)+1=0\;</math></center>
 {{p}}
-<center><math>x^2+4x^2+4x+1-2x-4x-2-2=0\;</math></center>
+<center><math>x^2+4x^2+4x+1+6x+4x+2+1=0\;</math></center>
 {{p}}
-<center><math>5x^2-2x-3=0 \; \rightarrow \; \begin{cases}
+<center><math>5x^2+14x+4=0 \; \rightarrow \; \begin{cases}
 x_1=1 \; \rightarrow \; y_1=3
 \\

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