La parábola (1ºBach)

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Revisión de 17:40 2 abr 2009

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Tabla de contenidos

1 La parábola
2 Excentricidad de la parábola
3 Ecuaciones de la parábola
4 Construcciones de la parábola

La parábola

Dados un punto $F\,$ llamado foco, y una recta $d\,$ , llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano que equidistán del foco y de la directriz:

$d(P,F)=d(P,d)\,$

Elementos de la parábola:

Una parábola de foco $F\,$ y directriz $d\,$ , determina los siguientes elementos:

Vértice: $O\,$ .
Distancia del foco a la directriz: $p=d(d,F)\,$ .

Actividad interactiva: Propiedades de la parábola

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a ver una propiedad de la parábola en la que veremos como cualquier "rayo" perpendicular a la directriz que impacte en la curva se refleja y va a parar a su foco.

Actividad:

Desliza el punto verde hacia la derecha y describe lo que ves.

Click aquí si no se ve bien la escena

Aplicaciones prácticas:

Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.

La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.

Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se deplaza de la posición focal.

La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Analogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje.

Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.

Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras de energía solar.

Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se situa en el foco de una superficie parabólica.

Actividad 2: Tiro parabólico

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

En la figura se puede observar la trayectoria de un proyectil (cuya velocidad de salida es constante). Prueba a modificar el ángulo de inclinación inicial.

¿Para qué inclinación se obtiene el alcance máximo?

Activa el trazo de para comprobar la zona de alcance de los proyectiles.

¿Qué tipo de curva limita esa zona "de seguridad"?

Excentricidad de la parábola

La excentricidad de la parábola es el cociente entre $c=d(F,O)\,$ y $a=d(O,d)\,$ . En consecuencia, la excentricidad de la parábola es siempre igual a 1.

$e=\cfrac{c}{a}=1$

Ecuaciones de la parábola

Ecuación reducida de la parábola

Ecuación reducida de la parábola

La ecuación de una parábola con foco en el eje de abscisas, directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el origen de coordenadas, es:

$y^2=2px\,$

Demostración:

Recordemos que $p=d(F,d)\,$ . Por tanto, las coordenadas del foco y la ecuación de la directiz son:

$F \Big( \cfrac{p}{2},0 \Big) \qquad d: \; x=-\cfrac{p}{2}$

Como cualquier punto $P(x,y)\,$ de la parábola cumple que:

$d(P,F)=d(P,d)\,$

Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática, tenemos:

$\sqrt{\Big( x-\cfrac{p}{2}}\Big)^2+y^2=x+\cfrac{p}{2}$

Elevando ambos miembros al cuadrado:

$x^2-\cfrac{p^2}{4}-px+y^2=x+\cfrac{p^2}{4}+px$

Y simplificando:

$y^2=2px\,$

Actividad interactiva: Ecuación reducida de la parábola

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la parábola con distancia del foco a la directriz $p=2\,$ .

Actividad:

La ecuación reducida viene dada por la fórmula:

$y^2=2px\,$

Sustituyendo $p=2\,$ , tenemos:

$y^2=4x\,$

Puedes ver su gráfica en la siguente escena:

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio:

Halla la ecuación reducida de la parábola con p=3. Comprueba los resulatados en la escena.

Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas

Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas

La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el el punto $O(\alpha,\beta)\,$ , es:

$(y-\beta)^2=2p(x-\alpha)\,$

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical

La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto $O(\alpha,\beta)\,$ , es:

$(x-\alpha)^2=2p(y-\beta)\,$

Esta ecuación también se puede expresar de la siguiente manera:

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical

La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto $O(\alpha,\beta)\,$ , es:

$y = ax^2 + bx + c \,$

donde

$a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta; \ \$

Demostración:

Basta con desarrollar la ecuación

$(x-\alpha)^2=2p(y-\beta)\,$

$x^2 -2 \alpha x + \alpha^2=2py-2p \beta\,$

$x^2 -2 \alpha x + \alpha^2 +2p \beta=2py \,$

Despejando $y\,$ :

$y=\cfrac{1}{2p}x^2 -\cfrac{\alpha}{p} x + \cfrac{\alpha^2 +2p \beta}{2p} \beta\,$

donde basta con llamar:

$a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta; \ \$

Proposición

Las coordenadas vértice $O(\alpha,\beta)\,$ , de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas $y = ax^2 + bx + c \,$ , son:

$\alpha = \frac{-b}{2a}; \ \ \beta = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Demostración:

Partiendo del resultado anterior en el que teníamos que:

$a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta; \ \$

Despejando $p\,$ de la primera ecuación: $p=\cfrac{1}{2a}$

Despejando $\alpha \,$ de la segunda ecuación: $\alpha=-pb=-\cfrac{b}{2a}$

Despejando $\beta \,$ de la tercera ecuación: $\beta=c-\cfrac{\alpha^2}{2p}=c-\cfrac{\cfrac{b^2}{4a^2}}{\cfrac{1}{a}}=c-\cfrac{b^2}{4a}=\cfrac{4ac-b^2}{4a}$

Construcciones de la parábola

Actividad interactiva: Construcciones de la parábola

Actividad 1: Método basado en su definición como lugar geométrico.

Actividad:

Activa la traza, desliza el punto P y observa.

¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD?
¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: La parábola como envolvente.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Desliza el punto P y observa.

Activa el trazo de la perpendicular a PF por P y vuelve a deslizar el punto P

¿Cuál es la envolvente de la familia de esas rectas?, es decir, ¿cuál es la curva tangente a esa familia de rectas?

Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F o de la recta directriz y repite lo anterior.

¿De qué modo influye la posición de F y dir en la forma y posición de la parábola generada?

Actividad 3: La parábola generada por el centro de una circunferencia.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Desliza el punto P y observa.

¿Cómo viene determinada la posición de la circunferencia en cada momento?
¿Qué se podrá decir de las distancias de su centro a la recta dir y F respectivamente?

Activa el trazo del centro de la circunferencia y vuelve a deslizar el punto P.

Define la parábola como lugar geométrico en base alo observado.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_par%C3%A1bola_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 {{p}}
 Despejando <math>p\,</math> de la primera ecuación: <math>p=\cfrac{1}{2a}</math>
 Despejando <math>\alpha \,</math> de la segunda ecuación: <math>\alpha=-pb=-\cfrac{b}{2a}</math>
-Despejando <math>\beta \,</math> de la tercera ecuación: <math>\beta=c-\cfrac{\alpha^2}{2p}=c-\cfrac{\cfrac{b^2}{4a^2}}{\cfrac{1}{a}}=c-\cfrac{b^2}{4a}}=\cfrac{4ac-b^2}{4a}</math>
+Despejando <math>\beta \,</math> de la tercera ecuación: <math>\beta=c-\cfrac{\alpha^2}{2p}=c-\cfrac{\cfrac{b^2}{4a^2}}{\cfrac{1}{a}}=c-\cfrac{b^2}{4a}=\cfrac{4ac-b^2}{4a}</math>
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Excentricidad de la parábola

Ecuaciones de la parábola

Ecuación reducida de la parábola

Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical

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