Plantilla:Función lineal afín

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 08:47 16 abr 2009

Una función lineal afín es aquella cuya expresión matemática viene dada por:

$y=m \cdot x+n$

donde $x\;\!$ e $y\;\!$ son variables, $m\;\!$ una constante que se denomina pendiente y $n\;\!$ otra constante denominada ordenada en el origen. Su gráfica es una recta que corta al eje de ordenadas en $n\;\!$ .

Proposición

La pendiente $m\,$ de una recta mide la inclinación de la misma, de manera que:

Si $m>0\,$ , la función es creciente.
Si $m<0\,$ la función es decreciente.
Si $m=0\,$ la función es constante (recta horizontal).

Ejemplos: Función lineal afín

Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto. Haz una tabla que relacione el tiempo transcurrido (en minutos) y el volumen (en litros) de estanque que se llena. Escribe la fórmula que relaciona el volumen y el tiempo. Representa gráficamente los resultados.
Repite el apartado anterior suponiendo que el estanque tiene un volumen inicial de 20 litros.
¿Y si partiésemos de un volumen inicial de 10 litros, cuáles serían los resultados?
Compara las gráficas obtenidas e indica que tienen en común y en qué se diferencian.
¿Qué fórmula correspondería a esta situación gráfica?

Solución:

1. Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto.

Partimos de que el estanque se encuentra vacío inicialmente. Completa la tabla:

Tiempo (min)	0	1	4	6	t
Volumen (litros)	0	5

La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo es:

$V=5 \cdot t$

2. Supongamos ahora que el estanque tiene inicialmente un volumen de 20 litros.

Completa la tabla:

Tiempo (min)	0	1	4	6	t
Volumen (litros)	20	25

La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo ahora es:

$V=5 \cdot t+20$

3. Ahora supondremos que el estanque tiene inicialmente un volumen de 10 litros.

Completa la tabla:

Tiempo (min)	0	1	4	6	t
Volumen (litros)	10	15

La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo ahora es:

$V=5 \cdot t+10$

4. Las graficas son rectas paralelas que cortan al eje de ordenadas a una altura que coincide con el volumen inicial del estanque. Por tanto, tienen en común que tienen la misma inclinación y se diferencian en el punto de corte con el eje de ordenadas.

5. Para esta gráfica que corta al eje de ordenadas en 5, la fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo es:

$V=5 \cdot t+5$

Actividades Interactivas: Función lineal afín

1. En esta escena puedes ver como son distintas funciones afines.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Desliza el primer punto verde para modificar el valor del parámetro m y observa los cambios.

Describe lo que ocurre.
¿Qué tienen en común y en qué se diferencian las gráficas según el valor de m?

Vuelve a la gráfica inicial haciendo clic sobre el icono "Actualizar" y prueba a modificar el segundo parámetro n.

Describe lo que ocurre.

Desliza el punto azul sobre la gráfica hasta que su primera coordenada sea 0.

¿Observas algo reseñable en su segunda coordenada? ¿Encuentras alguna explicación?
¿Qué tienen en común y en qué se diferencian las gráficas según el valor de n?

Una función constante es aquella cuya pendiente es cero. Su gráfica es una recta horizontal.

Prueba a hacer m=0 y modifica el valor de n para obrtener distintas funcione constantes.

2. Cálculo de la pendiente y de la ordenada en el origen.

Actividad:

Cálculo de la pendiente de una recta.

En esta escena puedes ver un método para calcular la pendiente de una recta cualquiera.

Mueve el punto rojo y comprueba que para cualquier punto que no esté sobre la recta el cociente entre los segmentos señalados (verde y azul) permanece constante y es igual a la pendiente. Así:

$m=\cfrac {variacion\ de\ y}{variacion\ de\ x}$

Click aquí si no se ve bien la escena

a) Varia ahora el valor de $m$ y de $k$ con los pulsadores o escribiendo su valor y pulsando "intro" para hallar la pendiente de las siguientes rectas: a) $y=5 \cdot x-4$ b) $y=-3 \cdot x+1$ c) $y= \cfrac {1}{2} \cdot x -6$ Anota los resultados en tu cuaderno.

Cálculo de la ordenada en el origen de una recta.

En esta escena puedes ver el segmento que representa la ordenada en el origen de una recta.

Click aquí si no se ve bien la escena

Cambia el valor de m y k. Observa el segmento amarillo que representa el valor de k y no depende, por tanto de m.

El parámetro k se llama ordenada en el origen de la función afín porque indica el valor de la función cuando x vale cero.

Comprueba que las rectas que pasan por el mismo punto del eje Y, tienen el mismo valor de k y se diferencian sólo en su pendiente.

3. Halla la ecuación de la recta a partir de su gráfica.

Actividad:

Se trata de determinar la pendiente y la ordenada en el origen de una recta cualquiera, que son los elementos que se necesitan para escribir la ecuación.

Click aquí si no se ve bien la escena

a) Tienes que escribir los valores de m y k para determinar la ecuación de la recta azul.

Ayúdate del zoom para poder ver los puntos por los que pasa la recta.

Para dar valores a m y k puedes escribir números decimales o fracciones como 5/7 ó -1/2 y pulsar la tecla Intro. El pulsador azul de la ayuda la activa y el rojo la desactiva. Con la ayuda activada no se cuentan los aciertos.

Si aciertas verás la expresión de la función con color azul, si no aciertas verás la recta correspondiente de color rojizo. Después de cada acierto pulsa el botón animar para que se salga una nueva recta.

4. Asigna cada ecuación a cada gráfica.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicio: Función afín

1. La factura de la luz que hemos contratado en casa nos supone un coste de 10,44 €, además de 0,09 € por kilovatio-hora consumido.

a) Halla la ecuación de la función que relaciona el consumo y el coste de la factura.

b) Representa gráficamente la función.

c) halla el importe de la factura para un consumo de 750 kw-h.

Solución:

y = 0,09 x + 10,44

(

y

en €;

x

en kw-h)

b) Representación gráfica:

c) 77,94 €.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Funci%C3%B3n_lineal_af%C3%ADn"

 {{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Función lineal afín''|cuerpo=
 {{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Función constante y otros ejemplos de funciones lineales afines.
+|enunciado=1. En esta escena puedes ver como son distintas funciones afines.
-|actividad={{p}}
+|actividad=
-* '''Función constante.'''
-En la siguiente escena aparece la función <math>y=3</math>, llamada '''función constante 3''', porque su valor no cambia; a cada valor de x le corresponde siempre el valor 3.
-Mueve el punto rojo y comprueba que el valor de la ordenada siempre es 3.
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+width=780
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+<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/funcionafin_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-a) Varia ahora el valor de <math>k</math> con los pulsadores o escribiendo su valor y pulsando "intro". Obtienes la función <math>y=k</math> ¿Cuánto vale la pendiente de todas estas rectas?.
+Desliza el primer punto verde para modificar el valor del parámetro '''m''' y observa los cambios.
-* '''Otras funciones lineales afines.'''
+*Describe lo que ocurre.
+*¿Qué tienen en común y en qué se diferencian las gráficas según el valor de '''m'''?
-En la siguiente escena vamos a comparar la función <math>y=2x</math> y la <math>y=2x+3</math>.
+Vuelve a la gráfica inicial haciendo clic sobre el icono "Actualizar" y prueba a modificar el segundo parámetro '''n'''.
-<center><iframe>
+*Describe lo que ocurre.
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Funcion_afin/Aproximacion_a_la_funcion_afin_2.html
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+Desliza el punto azul sobre la gráfica hasta que su primera coordenada sea 0.
-height=400
-name=myframe
-</iframe></center>
-b) ¿Que parecidos y diferencias encuentras entre las funciones <math>y=2x</math> e <math>y=2x+3</math>?
+*¿Observas algo reseñable en su segunda coordenada? ¿Encuentras alguna explicación?
+*¿Qué tienen en común y en qué se diferencian las gráficas según el valor de '''n'''?
-c) Cambia el valor de <math>k</math> con los pulsadores o escribiendo su valor y pulsando "intro" y explica como afecta el valor de <math>k</math> en el aspecto de la gráfica <math>y=2x+k</math>.
+Una '''función constante''' es aquella cuya pendiente es cero. Su gráfica es una recta horizontal.
-¿Cuánto vale la pendiente de todas estas rectas?.
-d) Pulsa el boton inicio para reestablecer los valores iniciales. Cambia el valor de <math>m</math> con los pulsadores o escribiendo su valor y pulsando "intro" y explica como afecta el valor de <math>m</math> en el aspecto de la gráfica <math>y=mx+3</math>.
+*Prueba a hacer '''m=0''' y modifica el valor de '''n''' para obrtener distintas funcione constantes.
-¿Cuánto vale la ordenada en el origen de todas estas rectas?.
 }}
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+<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Funcion_afin/Caracteristicas_de_la_funcion_afin_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
 a) Varia ahora el valor de <math>m</math> y de <math>k</math> con los pulsadores o escribiendo su valor y pulsando "intro" para hallar la pendiente de las siguientes rectas:
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+<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Funcion_afin/Caracteristicas_de_la_funcion_afin_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
 Cambia el valor de m y k. Observa el segmento amarillo que representa el valor de k y no depende, por tanto de m.
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+<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Funcion_afin/Caracteristicas_de_la_funcion_afin_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
 a) Tienes que escribir los valores de m y k para determinar la ecuación de la recta azul.

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