Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)
De Wikipedia
| Revisión de 07:04 21 abr 2009 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Potencias de números complejos en forma polar) ← Ir a diferencia anterior |
Revisión de 07:06 21 abr 2009 Coordinador (Discusión | contribuciones) Ir a siguiente diferencia → |
||
| Línea 34: | Línea 34: | ||
| </iframe></center> | </iframe></center> | ||
| <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_prod_polar.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_prod_polar.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
| + | |||
| Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene el producto de dos complejos, a partir del triángulo construido a partir del primer número complejo, el origen de coordenadas y el punto (1,0). | Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene el producto de dos complejos, a partir del triángulo construido a partir del primer número complejo, el origen de coordenadas y el punto (1,0). | ||
| Línea 66: | Línea 67: | ||
| </iframe></center> | </iframe></center> | ||
| <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_pot.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_pot.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
| + | |||
| Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene la potencia de un complejo. | Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene la potencia de un complejo. | ||
| Línea 110: | Línea 112: | ||
| </iframe></center> | </iframe></center> | ||
| <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_div_polar.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_div_polar.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
| + | |||
| Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene el cociente de dos complejos, a partir del triángulo construido a partir de los dos.. | Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene el cociente de dos complejos, a partir del triángulo construido a partir de los dos.. | ||
Revisión de 07:06 21 abr 2009
Tabla de contenidos[esconder] |
Multiplicación de números complejos en forma polar
Producto de complejos en forma polar
El producto de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el producto de los módulos y el argumento la suma de los argumentos de los respectivos complejos.
|
|
![=r \cdot s \, [cos \alpha \, \cos \beta + i \, cos \alpha \, sen \beta + i \, sen \, \alpha \, cos \, \beta + i^2 \, sen \, \alpha \, sen \, \beta ]=](/wikipedia/images/math/5/9/1/591804e8ee81496a02138c096a8d2d59.png)
![=r \cdot s \, [cos \alpha \, \cos \beta - sen \, \alpha \, sen \, \beta+ i \, ( cos \alpha \, sen \beta + sen \, \alpha \, cos \, \beta )]=](/wikipedia/images/math/2/f/c/2fcccb290acf0ed109301fe82ce33846.png)
![=r \cdot s \, [cos (\alpha + \beta ) + i \, sen \, ( \alpha + \beta )]=(r \cdot s)_{\alpha + \beta}](/wikipedia/images/math/7/6/d/76d54879d578a64886a5aeeafb79b32e.png)
 Actividad interactiva: Multiplicación de complejos en forma polar
|
Potencias de números complejos en forma polar
Potencia de un complejo en forma polar
- La potencia n-ésima de un compejo se obtiene de la siguiente manera:
|
|
Actividad interactiva: Potencias de complejos en forma polar
|
b) 
c) 
d) 
Fórmula de Moivre
División de números complejos en forma polar
División de complejos en forma polar
La división de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el cociente de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos de los respectivos complejos.
|
|
Actividad interactiva: División de complejos en forma polar
|
Radicación de números complejos en forma polar
Un número complejo 
es una raíz n-ésima de otro complejo 
si se cumple que 
.
Raíces de un complejo
- Un número complejo
tiene exactamente n raíces n-ésimas 
, que se obtienen de la siguiente manera:
![r_\alpha : \begin{cases} r=\sqrt[n]{R} \\ \alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}\, , \quad k=0,1,\cdots,(n-1) \end{cases}](/wikipedia/images/math/4/a/5/4a5dd4f3f68e14f0c8013ccc27085e5e.png)
![\sqrt[n]{z}=w \iff z=w^n \iff (R_A)=(r_\alpha)^n \iff R_A=(r^n)_{n \, \alpha}](/wikipedia/images/math/b/7/7/b7781ba8724c717e4f2b2423267ad5bf.png)
![R_A=(r^n)_{n \, \alpha} \iff \begin{cases} r^n=R \iff r=\sqrt[n]{R} \\ n \, \alpha = A + 2k \pi \iff \alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}\, , \quad k=0,1,\cdots,(n-1) \end{cases}](/wikipedia/images/math/c/8/0/c808af8500c52fdd7279ea16c43c86cc.png)
![\sqrt[3]{1+i}](/wikipedia/images/math/8/8/3/883e0a5f87d5879d879d48e3bbe5789d.png)
:
a forma polar:
![\sqrt[3]{(\sqrt{2})_{45^\circ}}=r_\alpha](/wikipedia/images/math/c/5/e/c5e849c7713f59a373e993c0d21a8bd5.png)
, siendo ![\begin{cases} r=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \\ \alpha=\cfrac{45^\circ +2k \pi}{3}\, , \quad k=0,1,2 \end{cases}](/wikipedia/images/math/e/3/3/e338be4b3b0010eb3dd1abb6ea6669f0.png)
![r_\alpha : \begin{cases} r=\sqrt[6]{2} \\ \alpha= 15^\circ \, , \quad 135^\circ \, , \quad 257^\circ \end{cases}](/wikipedia/images/math/d/9/7/d978739b21c71e554a372161eb06a8b7.png)
![(\sqrt[6]{2})_{15^\circ} \, , \quad (\sqrt[6]{2})_{135^\circ} \, , \quad (\sqrt[6]{2})_{257^\circ}](/wikipedia/images/math/a/d/b/adb33551ba73519cab6c3b98e938918b.png)
Actividad interactiva: Raíces de complejos en forma polar
|
b) ![\sqrt[3]{8_{120^\circ}}](/wikipedia/images/math/0/2/9/02928c662b770c320d65ec6f6ebb988d.png)
c) ![\sqrt[5]{5_{270^\circ}}](/wikipedia/images/math/a/a/9/aa96d66344414293e64e280028494f05.png)
d) ![\sqrt[4]{6_{120^\circ}}](/wikipedia/images/math/5/b/2/5b29523f5dc1a2d4bbc07a377e06bae8.png)
