Plantilla:Progresiones geométricas

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===Producto de términos de una progresión geométrica=== ===Producto de términos de una progresión geométrica===

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Tabla de contenidos

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, r\;\!, que llamaremos razón

Por ejemplo:

Imagen:prog_geometrica.png

es una progresión geométrica de razón r=2.

Término general de una progresión geométrica

ejercicio

Término general de una progresión geométrica

Sean a_1, a_2, a_3, ..... \;\!términos de una progresión geométrica de razón r\;\!.

Entonces se cumple que:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Demostración:

En efecto, razonando por inducción:

a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!

a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r \cdot r = a_1 \cdot r^2 \;\!

a_4 = a_3 \cdot r = a_1 \cdot r^2 \cdot r = a_1 \cdot r^3 \;\!

........................

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}


Suma de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Suma de términos de una progresión geométrica

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}

Demostración:

Efectuamos la siguiente resta:

r \cdot S_n \qquad ~= \qquad \quad a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n +a_n \cdot r

-\;
S_n \ \qquad ~~~~= \ a_1 \ + a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n

______________________________________________________________________________

r \cdot S_n- S_n= -a_1 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~~+a_n \cdot r

por tanto:

S_n(r-1)=a_n r-a_1\;

y despejando

S_n=\cfrac{(a_n \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^n - a_1)}{r-1}

ejercicio

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que 0<\; \mid r \mid \; <1 se obtiene así:

S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}

Demostración:

La siguiente demostración usa el concepto de límite que aún no conoceis. Lo podremos ver con detalle, más adelante en este tema, en un apartado titulado Algunos límites importantes.

Vamos a partir de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica y vamos a hacer que n tienda a infinito.

S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}

Como 0<\; \mid r \mid \; <1, cuando n tiende a infinito, r^n\; tiende a 0.

Entonces, S_n\; tiende a \frac{0-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r} y a ese valor límite de S_n\; lo llamamos S_{\infty}.


Producto de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Producto de términos de una progresión geométrica

El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

P_n=\sqrt{(a_1.a_n)^n}

Demostración:
Véase el siguiente videotutorial

Videotutorial sobre el producto de términos de una progresión geométrica

Producto de n términos de una progresión geométrica (7´31")     Sinopsis:

Videotutorial

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Progresiones_geom%C3%A9tricas"
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