Plantilla:Factorización de polinomios (1ºBach)

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Revisión de 21:20 27 sep 2014

Tabla de contenidos

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1 Divisibilidad de polinomios
2 Factorización de polinomios
3 Videotutoriales

Divisibilidad de polinomios

Polinomios múltiplos y divisores

Un polinomio $Q(x)\,$ es divisor de otro, $P(x)\,$ y lo representaremos por $Q(x)|P(x)\;$ , si la división $P(x):\,Q(x)\,$ es exacta, es decir, cuando existe otro polinomio $C(x)\;$ tal que $P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,$ .

En tal caso, diremos que $P(x)\,$ es divisible por $Q(x)\,$ y que $P(x)\,$ es un múltiplo de $Q(x)\,$ .
También diremos que $Q(x)\,$ y $C(x)\,$ son factores del polnomio $P(x)\,$ .

Ejemplo [Mostrar]

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio $P(x)\,$ es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior (distinto de grado cero) es divisor suyo.

Ejemplos [Mostrar]

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Se dice que el polinomio $D(x)\;$ es el máximo común divisor de los polinomios $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ , y lo expresaremos:

$m.c.d \,[P(x), Q(x)]=D(x)\;$

si $D(x)\;$ es divisor de ambos y no existe otro polinomio que divida a ambos que tenga mayor grado que él.

Ejemplos [Mostrar]

Se dice que el polinomio $M(x)\;$ es el mínimo común múltiplo de los polinomios $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ , y lo expresaremos:

$m.c.m \,[P(x), Q(x)]=M(x)\;$

si $D(x)\;$ es múltiplo de ambos y no existe otro polinomio que sea múltiplo de ambos que tenga menor grado que él.

Ejemplos [Mostrar]

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Factorización de polinomios de grado 2

Factorización de polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado, $kx^2+mx+n\;$ , con raíces rales, $a\;$ y $b\;$ , se puede factorizar de la forma

$k(x-a)(x-b)\;$

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles

Factoriza los siguientes polinomios

a) $5x^2+5x-60\;$

b) $5x^3+5x^2-60x\;$

Solución:[Mostrar]

Factorización de polinomios de grado 2 [Mostrar]

Ejercicios: Factorización de polinomios de grado 2 o reducibles

1. Factoriza los siguientes polinomios de grado 2:

a) $P(x)=4x^2+4x+1\;$

b) $Q(x)=x^2+x+1\;$

c) $P(x)=x^2-16x\;$

d) $Q(x)=4x^2-25\;$

e) $R(x)=5x^2+20\;$

2. Factoriza el siguiente polinomio reducible a grado 2:

a) $P(x)=4x^4+x^2\;$

Solución:[Mostrar]

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

Siempre que se pueda, sacaremos $x\;$ factor común.
Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz $x=a\;$ de un polinomio $P(x)\;$ , tendremos que $P(x)=(x-a)Q(x)\;$ , donde $Q(x)\;$ tiene un grado menos que $P(x)\;$ . (Ver raíces de un polinomio).

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

En algunos casos, como en el de los polinomios bicuadrados, que son polinomios de la forma $ax^4+bx^2+c\;$ , si podremos hallarle las raices, resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.

Ejemplos: Factorización de polinomios bicuadrados

Factoriza el siguiente polinomio: $P(x)=x^4 - 7x^2 + 6 \;\!$

Solución:[Mostrar]

Ejercicios: Factorización de polinomios bicuadrados

1. Factoriza el siguiente polinomio:

a) $P(x)=x^4-5x^2+4\;$

Solución:[Mostrar]

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

Factorización de un polinomio por Ruffini

Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces enteras, los divisores del término independiente y como candidatos a raices fraccionarias, las que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.

Nota: [Mostrar]

Ejemplo: Regla de Ruffini

Factoriza el siguiente polinomio:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!$

Solución:[Mostrar]

Primero sacamos factor común $3x^2\,\!$ :

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 = 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)\,\!$

Ahora aplicamos Ruffini. Los divisores de $70\,\!$ son $1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 5,\ -5,\ \mbox{etc.}\,\!$

Empezaremos probando con el 1:

   | 1  -1  -39  109  -70
   |                   
  1|     1    0  -39   70
 --|----------------------
   | 1   0  -39   70  |0
                      |____

Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, $x=1\;$ y uno de los factores $(x-1)\;$ .

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

Seguimos aplicando Ruffini. Probamos con 1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz:

   | 1   0  -39   70
   |                   
  1|     1    1   38
 --|-----------------
   | 1   1   38 |108
                |____

El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:

   | 1   0  -39   70
   |                   
 -1|    -1    1   38
 --|-----------------
   | 1  -1  -38 |108
                |____

El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:

   | 1  0  -39   70
   |                   
  2|    2    4  -70
 --|----------------
   | 1  2  -35   |0
                 |____

Ya hemos encontrado otra raíz, $x=2\;$ , y el factor correspondiente, $(x-2)\;$ .

El polinomio quedará de la siguiente forma:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula de la ecuación de 2º grado:

$x^2+2x-35=0 \rightarrow x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 -4 \cdot (-35)}}{2}=\frac{-2 \pm 12}{2}=\begin{cases} x_1=-7 \\ x_2=5 \end{cases}$

Así, sus raíces son 5 y -7 y sus factores (x-5) y (x+7).

De esta manera:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x-5)(x+7)\,\!$

Con lo que queda descompuesto el polinomio.

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini [Mostrar]

Tutorial 1 (26'17") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2 (9´55") Sinopsis: [Mostrar]

Tutorial 3 (9'19") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 1 (11´14") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2 (9´29") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3 (9´36") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 4 (9´27") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 5 (8'59") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 6 (9'25") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 7 (8'14") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 8 (7'01") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 9 (8'01") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 10 (8'01") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 11 (8'33") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicios: Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini

1. Factoriza el siguiente polinomio:

a) $P(x)=x^6-9x^5+24x^4-20x^3\;$

Solución:[Mostrar]

Videotutoriales

Factorización de polinomios (9´55") Sinopsis:[Mostrar]

Factorización de polinomios de grado 3 (11´14") Sinopsis:[Mostrar]

Factorización de un polinomio de grado 4 (9´29") Sinopsis:[Mostrar]

Factorización de un polinomio de grado 5 (9´36") Sinopsis:[Mostrar]

Factorización de un polinomio que sólo tiene raíces fraccionarias (9´27") Sinopsis:[Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Factorizaci%C3%B3n_de_polinomios_%281%C2%BABach%29"

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Polinomios múltiplos y divisores

Polinomios irreducibles

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios de grado 2

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

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