Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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1 Sistema de referencia en el plano
2 Coordenadas del vector que une dos puntos
3 Condición para que tres puntos estén alineados
4 Punto medio de un segmento
5 Simétrico de un punto respecto de otro

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ , donde $O\,$ es un punto fijo, llamado origen, y $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto $P\,$ del plano tiene asociado un vector fijo $\overrightarrow{OP}$ , llamado vector de posición del punto $P\,$ .

Si el vector $\overrightarrow{OP}$ tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto de la base $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ , el punto $P\,$ diremos que tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto del sistema de referencia $\mathfrak{R}$ .

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia ortonormal, que es aquel en el que la base es ortonormal.

Sistema de referencia ortonormal

Actividad interactiva: Sistema de referencia en el plano

Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtiene el vector de posición de un punto y las coordenadas del punto respecto de un sistema de referencia ortonormal.

Actividad:[Mostrar]

Coordenadas del vector que une dos puntos

Coordenadas del vector que une dos puntos

Dados dos puntos del plano de coordenadas $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ , respecto de un sistema de referencia $\mathfrak{R}$ , entonces:

$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$

Demostración:[Mostrar]

Vector fijo asociado a un par ordenado de puntos del plano (15´47") Sinopsis:[Mostrar]

Actividad interactiva: Coordenadas del vector que une dos puntos

Actividad 1: En la siguiente escena obtendrás la coordenadas del vector que une dos puntos del plano.

Actividad:[Mostrar]

Ejercicios: Coordenadas del vector que une dos puntos

Ejercicio (19´59") Sinopsis:[Mostrar]

4 ejercicios (9´33") Sinopsis:[Mostrar]

Proposición

Dos vectores son equipolentes si y sólo si tienen las mismas coordenadas.

Equipolencia de vectores fijos. Vector libre (14´37") Sinopsis:[Mostrar]

Ejercicios: Vectores equipolentes

2 ejercicio (10´42") Sinopsis:[Mostrar]

Condición para que tres puntos estén alineados

Condición para que tres puntos estén alineados

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si se cumple:

$\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$

Demostración:[Mostrar]

Actividad interactiva: Condición para que tres puntos estén alineados

Actividad 1: En la siguiente escena comprobarás si tres los puntos, $A(-7,-2)\,$ , $B(-1,0)\,$ y $C(11,4)\,$ , están alineados.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2: En esta escena tenemos tres puntos $P(1,4)\,$ , $Q(5,-2)\,$ y $R(m,n)\,$ . Vamos a variar $m\,$ y $n\,$ , para conseguir que los tres puntos estén alineados.

Actividad:[Mostrar]

Punto medio de un segmento

Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio, $M\,$ , de un segmento de extremos $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ son:

$M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)$

Demostración:[Mostrar]

Actividad interactiva: Punto medio de un segmento

Actividad 1: En la siguiente escena calcularemos el punto medio de un segmento de extremos $A(2,4)\,$ y $B(7,2)\,$ .

Actividad:[Mostrar]

Simétrico de un punto respecto de otro

Simétrico de un punto respecto de otro

El punto simétrico de $A(x,y)\,$ respecto del punto $P(a,b)\,$ es:

$A'=(2a-x,2b-y)\,$ .

Demostración:[Mostrar]

Actividad interactiva: Simétrico de un punto respecto de otro

Actividad 1: En la siguiente escena queremos calcular el punto $B(x,y)\,$ , simétrico de $A(2,4)\,$ respecto del punto $M(4.5,3)\,$ .

Actividad:[Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Puntos_y_vectores_el_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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