Plantilla:Perímetros y áreas

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Revisión de 16:31 8 oct 2014

Tabla de contenidos

1 Cuadrado
2 Rectángulo
3 Paralelogramo
4 Rombo
5 Triángulo
6 Trapecio
7 Polígonos regulares
8 Círculo
- 8.1 Corona circular
- 8.2 Sector circular

Cuadrado

Perímetro:

$P=4 \cdot a$

Área:

$A=a^2 \;\!$

Elementos:

a: lado.

Actividad interactiva: Cuadrado

Actividad 1: Deducción del área del cuadrado.

Actividad:

¿Cuál es el área del cuadrado? Es decir, ¿cuántos cuadraditos como el azul caben en el cuadrado?

Modifica el polígono arrastrando el punto verde.

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2:

Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de lado 3 cm.
El área de un cuadrado es 5,76 $c m 2$ . Calcula su perímetro.

Actividad:

Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad: Cuadrado

a) Halla el área de un cuadrado de 5 cm de lado.

b) Halla el perímetro de un cuadrado de 3 m de lado.

c) Halla la diagonal de un cuadrado de 20 mm de lado.

d) Halla el ángulo central de un cuadrado.

e) Halla el ángulo interior de un cuadrado.

f) Halla la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) square edge length 5 cm area

b) square edge length 3 m perimeter

c) square edge length 20 mm diagonal length

d) square central angle

e) square interior angle

f) square interior angle sum

Rectángulo

Perímetro:

$P=2 \cdot a+2 \cdot b$

Área:

$A=a \cdot b$

Elementos:

b: base.

a: altura.

Actividad interactiva: Rectángulo

Actividad 1: Deducción del área del rectángulo.

Actividad:

¿Cuál será el área del polígono inicial? Es decir, ¿cuántos cuadraditos como el azul caben en el rectángulo? ¿Por qué?

Modifica el polígono arrastrando los puntos verdes

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: La base de un rectángulo es 5 m. y la altura la mitad de la base. Calcula el área y el perímetro.

Actividad:

Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad: Recángulo

a) Halla el área de un rectángulo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en

m 2

b) Halla el perímetro de un rectángulo de 30 m y 5 dam de lados, expresada en

d a m 2

c) Halla la diagonal de un rectángulo de 30 mm y 5 dm de lados, expresada en cm.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) rectangle edge length 5 cm, 20 dm area in meters

b) rectangle edge length 30 m, 5 dam perimeter in dekameters

c) rectangle edge length 30 mm, 5 dm diagonal length in centimeters

Paralelogramo

Perímetro:

$P=2 \cdot c+2 \cdot b$

Área:

$A=a \cdot b$

Elementos:

b: base.

a: altura.

c: lado

Nota:

El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

Actividad interactiva: Paralelogramo

Actividad 1: Deducción de la fórmula del área del paralelogramo.

Actividad:

El paralelogramo de la derecha tiene el mismo área que el rectángulo que tiene debajo. Para comprobarlo, mueve el punto que se indica y arrastralo hacia la izquierda.

Por tanto el área del paralelogramo es el mismo que el del rectángulo.

Deducción de la fórmula del área del paralelogramo

(Mueve el punto azul)

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: La base de un paralelogramo es 5 cm, y su altura es 2,8 cm. ¿Cual es el área y el perímetro del paralelogramo?

Actividad:

Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:

Cálculo del área y del perímetro del paralelogramo

(Mueve los vértices para modificar la medida de los lados)

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad: Paralelogramo

a) Halla el perímetro de un paralelogramo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en dm.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) parallelogram edge length 5 cm, 20 dm perimeter in decimeters

Rombo

Perímetro:

$P=4 \cdot a$

Área:

$A=\cfrac {D \cdot d}{2}$

Elementos:

a: lado.

D: diagonal mayor.

d: diagonal menor.

Nota:

Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados iguales.

Actividad interactiva: Rombo

Actividad 1: Deducción del área del rombo.

Actividad:

Modifica el polígono arrastrando los puntos verdes

¿Qué relación hay entre el área del rombo y la del rectángulo circunscrito?
¿Cuál será la formula que permita calcular el área de un rombo a partir de sus diagonales? ¿Por qué?

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: La diagonal mayor de un rombo mide 5m, y la menor es la mitad. Calcula el área y el perímetro del rombo.

Actividad:

Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:

Cálculo del área y del perímetro del rombo

(Mueve los vértices para modificar la medida de los lados)

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 3: Calcula el área de un cuadrado de 4 m. de diagonal.

a) Utilizando el teorema de Pitágoras para determinar el lado.

b) Utilizando la fórmula del área del rombo.

Actividad:

El cuadrado es un rombo que tiene las diagonales iguales.

Para calcular el área del cuadrado puedes utilizar también la expresión del área del rombo. Comprueba en la figura que estas expresiones dan el mismo valor.

El cuadrado es un rombo con los 4 lados iguales

(Mueve el vértice B para modificar la medida del lado)

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad: Rombo

a) Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en

d m 2

b) Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en cm.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) rhombus diagonal length 12 m, 20 m area in decimeters

b) rhombus diagonal length 12 m, 20 m perimeter in centimeters

Triángulo

Perímetro:

$P=b+c+d\;\!$

Área:

$A=\cfrac {b \cdot a}{2}$

Elementos:

b: base.

a: altura.

c, d: lados.

Nota:

Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

Actividad interactiva: Triángulo

Actividad 1: Deducción del área del triángulo.

Actividad:

Desliza el punto verde o utiliza los botones, observa lo que ocurre y razona:

¿A qué otra área es igual la del triángulo?

Vuelve a la posición inicial y modifica el triángulo arrastrando cualquiera de sus vértices. Vuelve a deslizar los puntos verdes.

¿Qué fórmula permitirá calcular el área de un triángulo en función de sus dimensiones? ¿Por qué?

Click aquí si no se ve bien la escena

En esta otra escena, mueve el deslizador (punto verde) y razona:

¿A la mitad de qué otro área es igual la del triángulo?

Vuelve a la posición inicial y modifica el triángulo arrastrando cualquiera de sus vértices. Vuelve a deslizar el punto verde.

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: La base de un triángulo isósceles mide 5 cm. y los lados iguales miden 3,7 cm. Halla su área y su perímetro.

Actividad:

Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:

El cuadrado es un rombo con los 4 lados iguales

(Mueve los vértices del triángulo para variar la medida de los lados)

Click aquí si no se ve bien la escena

Fórmula de Herón

La superficie de un triángulo de lados a, b, c viene dada por:

$S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\,$

donde $p\;$ es el semiperímetro: $p=\frac{a+b+c}{2}$ .

Demostración:

Nota: Esta demostración excede el nivel de este curso.

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente.

Supongamos un triángulo de lados a, b, c cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son A, B, C. Entonces tenemos que:

$\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

por el Teorema del coseno:

$\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}$ .

La altura de un triángulo de base a tiene una longitud bsin(C), por tanto siguiendo con la demostración

$S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})$

$\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(C)$

$\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}$

$\qquad = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}.$

Actividad: Triángulo

a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en

d m 2

b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) triangle width 3 cm height 5 cm area in decimeters

b) triangle edge lengths 4 m, 6 m, 7 m area

Trapecio

Perímetro:

$P=b+B+c+d\;\!$

Área:

$A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}$

Elementos:

B: base mayor.

b: base menor.

a: altura.

c, d: lados.

Actividad interactiva: Trapecio

1. Deducción de la fórmula del área de un trapecio.

Actividad:

Para ello, mueve el punto rojo hacia la izquierda. Obtendrás un duplicado del trapecio en color azul, que junto con el trapecio amarillo inicial, forman un paralelogramo de base $B+b\;\!$ y altura $a\;\!$ .

El área del paralelogramo es:

$(B+b) \cdot a$

de donde, dividiendo por 2, obtenemos el área del trapecio:

$\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}$

Deducción de la fórmula del área del trapecio

(Mueve el punto rojo)

2. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm.

Actividad:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Cálculo del área y del perímetro de un trapecio

(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)

3. Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de base mayor 4,5 cm., base menor 3 cm. y altura 1,2 cm.

Actividad:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Cálculo del área y del perímetro de un trapecio rectángulo

(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)

4. Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles de base mayor 4 cm., base menor 2,4 cm. y lado L=2 cm.

Actividad:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Cálculo del área y el perímetro de un trapecio isósceles

(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)

Polígonos regulares

Perímetro:

$P=n \cdot b$

Área:

$A=\cfrac {P \cdot a}{2}$

Elementos:

b: lado.

a: apotema.

Nota:

n: número de lados.

Actividad interactiva: Polígono regular

Actividad 1: Deducción del área de un polígono regular.

Actividad:

Desliza el punto verde y observa

¿A qué otro área es igual la del pentágono regular?
¿Qué fórmula permitirá calcular el área de un pentágono regular en función de sus dimensiones? ¿Por qué?
¿Y la de un polígono regular de n lados?

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2:

Halla la apotema de un octógono regular de 1,61 cm. de lado y 2,11 cm. de radio. Halla también su perímetro y su área.
Halla el área de un hexágono regular de 2 cm de lado. (Observa como son el radio y el lado en un hexágono regular)

Actividad:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Calculo del área y del perímetro de un polígono regular.

(Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos)

Click aquí si no se ve bien la escena

Pero, para determinar el área, necesitamos conocer, además del lado, la apotema. Si conocemos uno de ellos y el radio, podemos hallar el otro por el Teorema de Pitágoras, como se observa en la siguiente escena:

Calculo de la apotema, lado o radio de un polígono regular.

(Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos)

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 3: Cálculo del área y del perímetro de un polígono regular.

Actividad:

En esta escena puedes comprobar el área, perímetro, apotema y lado de un polígono regular haciendo variar al radio.

Desliza el punto verde para modificar el número de lados.

Click aquí si no se ve bien la escena

Círculo

Perímetro:

$P=2 \cdot \pi \cdot r$

Área:

$A=\pi \cdot r^2$

Elementos:

r: radio.

Nota:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

Actividad interactiva: Círculo

Actividad 1: Comprobación de la fórmula de la longitud de la circunferencia.

Actividad:

Desliza el punto verde y observa

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: Aproximación a la fórmula del área del círculo.

Actividad:

Desliza el punto verde y observa

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 3: En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia.

Actividad:

Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:

Calculo del área y del perímetro de un círculo.

Click aquí si no se ve bien la escena

Corona circular

Perímetro:

$P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)$

Área:

$A=\pi \cdot (R^2-r^2)$

Elementos:

r, R: radios respectivos.

Nota:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

Actividad interactiva: Corona circular

1. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente.

Actividad:

Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:

Calculo del área de una corona circular

(Mueve el punto azul para modificar el radio pequeño)

Click aquí si no se ve bien la escena

Sector circular

Perímetro:

$l=\cfrac{2 \pi r \cdot \alpha}{360^o}; \ P = l+2 \cdot r$

Área:

$A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}$

Elementos:

r: radio.

l: arco.

$\alpha\;\!$ : ángulo (en grados sexagesimales).

Nota:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.

Demostración:

La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres.

$\begin{matrix}A_{Sect} & \to & \alpha \\ A_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}$

Despejando el área del sector:

$A_{Sect}=\cfrac{A_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}$

de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, $\pi r^2\;\!$ , se obtiene la fórmula.

Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres.

$\begin{matrix}L_{Sect} & \to & \alpha \\ L_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}$

Despejando la longitud del sector:

$L_{Sect}=\cfrac{L_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}$

de donde, sustituyendo la longitud de la circunferencia por su valor, $2 \pi r\;\!$ , se obtiene la fórmula.

Actividad interactiva: Sector circular

1. En un círculo de radio 1,80 cm, halla el área de un sector circular de 60º y la longitud de su arco.

Actividad:

Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:

Calculo del área de un sector circular

(Mueve el punto B para modificar el ángulo)Click aquí si no se ve bien la escena

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Per%C3%ADmetros_y_%C3%A1reas"

 }}
 {{p}}
 ==Triángulo==
 {{Tabla3
 }}
 }}
+{{p}}
+{{teorema
+|titulo=Fórmula de Herón
+|enunciado=La superficie de un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' viene dada por:
+<center><math>S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\,</math></center>
+donde <math>p\;</math> es el semiperímetro: <math>p=\frac{a+b+c}{2}</math>.
+|demo='''Nota:''' Esta demostración excede el nivel de este curso.
+Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio [[Herón]] en su libro), podría ser la siguiente.
+Supongamos un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son ''A'', ''B'', ''C''. Entonces tenemos que:
+:<math>\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
+por el Teorema del coseno:
+:<math>\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>.
+La altura de un triángulo de base ''a'' tiene una longitud ''b''sin(C), por tanto siguiendo con la demostración
+:<math>S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})</math>
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+}}
+{{p}}
+{{wolfram
+|titulo=Actividad: ''Triángulo''
+|cuerpo=
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado=
+:a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en <math>dm^2</math>.
+:b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.
+{{p}}
+|sol=
+Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
+:a) {{consulta|texto=triangle width 3 cm height 5 cm area in decimeters}}
+:b) {{consulta|texto=triangle edge lengths 4 m, 6 m, 7 m area}}
+{{widget generico}}
+}}
+}}
+{{p}}
 ==Trapecio==

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Tabla de contenidos

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Trapecio

Polígonos regulares

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