Plantilla:Perímetros y áreas

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==Triángulo== ==Triángulo==
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 +donde <math>p\;</math> es el semiperímetro: <math>p=\frac{a+b+c}{2}</math>.
 +|demo='''Nota:''' Esta demostración excede el nivel de este curso.
 +
 +Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio [[Herón]] en su libro), podría ser la siguiente.
 +
 +Supongamos un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son ''A'', ''B'', ''C''. Entonces tenemos que:
 +
 +:<math>\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
 +
 +por el Teorema del coseno:
 +
 +:<math>\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>.
 +La altura de un triángulo de base ''a'' tiene una longitud ''b''sin(C), por tanto siguiendo con la demostración
 +:<math>S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})</math>
 +:<math>\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(C)</math>
 +:<math>\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}</math>
 +:<math>\qquad = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}.</math>
 +}}
 +{{p}}
 +{{wolfram
 +|titulo=Actividad: ''Triángulo''
 +|cuerpo=
 +{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
 +
 +:a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en <math>dm^2</math>.
 +:b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.
 +
 +{{p}}
 +|sol=
 +Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
 +
 +:a) {{consulta|texto=triangle width 3 cm height 5 cm area in decimeters}}
 +:b) {{consulta|texto=triangle edge lengths 4 m, 6 m, 7 m area}}
 +
 +{{widget generico}}
 +}}
 +
 +}}
 +{{p}}
==Trapecio== ==Trapecio==

Revisión de 16:31 8 oct 2014

Tabla de contenidos

[esconder]

Cuadrado

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=a^2 \;\!

  • Elementos:
a: lado.

ejercicio

Actividad interactiva: Cuadrado

Actividad 1: Deducción del área del cuadrado.

Actividad 2:

  1. Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de lado 3 cm.
  2. El área de un cuadrado es 5,76 cm2 . Calcula su perímetro.

wolfram

Actividad: Cuadrado

a) Halla el área de un cuadrado de 5 cm de lado.
b) Halla el perímetro de un cuadrado de 3 m de lado.
c) Halla la diagonal de un cuadrado de 20 mm de lado.
d) Halla el ángulo central de un cuadrado.
e) Halla el ángulo interior de un cuadrado.
f) Halla la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.

Rectángulo

  • Perímetro:

P=2 \cdot a+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b: base.
a: altura.

ejercicio

Actividad interactiva: Rectángulo

Actividad 1: Deducción del área del rectángulo.

Actividad 2: La base de un rectángulo es 5 m. y la altura la mitad de la base. Calcula el área y el perímetro.

wolfram

Actividad: Recángulo

a) Halla el área de un rectángulo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en m2.
b) Halla el perímetro de un rectángulo de 30 m y 5 dam de lados, expresada en dam2
c) Halla la diagonal de un rectángulo de 30 mm y 5 dm de lados, expresada en cm.

Paralelogramo

  • Perímetro:

P=2 \cdot c+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b: base.
a: altura.
c: lado
  • Nota:
El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

ejercicio

Actividad interactiva: Paralelogramo

Actividad 1: Deducción de la fórmula del área del paralelogramo.
Actividad 2: La base de un paralelogramo es 5 cm, y su altura es 2,8 cm. ¿Cual es el área y el perímetro del paralelogramo?

wolfram

Actividad: Paralelogramo

a) Halla el perímetro de un paralelogramo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en dm.

Rombo

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=\cfrac {D \cdot d}{2}

  • Elementos:
a: lado.
D: diagonal mayor.
d: diagonal menor.
  • Nota:
Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados iguales.

ejercicio

Actividad interactiva: Rombo

Actividad 1: Deducción del área del rombo.

Actividad 2: La diagonal mayor de un rombo mide 5m, y la menor es la mitad. Calcula el área y el perímetro del rombo.

Actividad 3: Calcula el área de un cuadrado de 4 m. de diagonal.

a) Utilizando el teorema de Pitágoras para determinar el lado.
b) Utilizando la fórmula del área del rombo.

wolfram

Actividad: Rombo

a) Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en dm2.
b) Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en cm.

Triángulo

  • Perímetro:

P=b+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {b \cdot a}{2}

  • Elementos:
b: base.
a: altura.
c, d: lados.
  • Nota:
Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

ejercicio

Actividad interactiva: Triángulo

Actividad 1: Deducción del área del triángulo.

Actividad 2: La base de un triángulo isósceles mide 5 cm. y los lados iguales miden 3,7 cm. Halla su área y su perímetro.

ejercicio

Fórmula de Herón

La superficie de un triángulo de lados a, b, c viene dada por:

S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\,

donde p\; es el semiperímetro: p=\frac{a+b+c}{2}.

wolfram

Actividad: Triángulo

a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en dm2.
b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.

Trapecio

  • Perímetro:

P=b+B+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}

  • Elementos:
B: base mayor.
b: base menor.
a: altura.
c, d: lados.

ejercicio

Actividad interactiva: Trapecio

1. Deducción de la fórmula del área de un trapecio.
2. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm.
3. Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de base mayor 4,5 cm., base menor 3 cm. y altura 1,2 cm.
4. Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles de base mayor 4 cm., base menor 2,4 cm. y lado L=2 cm.

Polígonos regulares

Imagen:poligono.png

  • Perímetro:

P=n \cdot b

  • Área:

A=\cfrac {P \cdot a}{2}

  • Elementos:
b: lado.
a: apotema.
  • Nota:
n: número de lados.

ejercicio

Actividad interactiva: Polígono regular

Actividad 1: Deducción del área de un polígono regular.

Actividad 2:

  1. Halla la apotema de un octógono regular de 1,61 cm. de lado y 2,11 cm. de radio. Halla también su perímetro y su área.
  2. Halla el área de un hexágono regular de 2 cm de lado. (Observa como son el radio y el lado en un hexágono regular)

Actividad 3: Cálculo del área y del perímetro de un polígono regular.

Círculo

Imagen:circulo.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot r

  • Área:

A=\pi \cdot r^2

  • Elementos:
r: radio.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

ejercicio

Actividad interactiva: Círculo

Actividad 1: Comprobación de la fórmula de la longitud de la circunferencia.

Actividad 2: Aproximación a la fórmula del área del círculo.

Actividad 3: En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia.

Corona circular

Imagen:corona.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)

  • Área:

A=\pi \cdot (R^2-r^2)

  • Elementos:
r, R: radios respectivos.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

ejercicio

Actividad interactiva: Corona circular

1. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente.

Sector circular

  • Perímetro:

l=\cfrac{2 \pi r \cdot \alpha}{360^o}; \ P = l+2 \cdot r

  • Área:

A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}

  • Elementos:
r: radio.
l: arco.
\alpha\;\!: ángulo (en grados sexagesimales).
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.

ejercicio

Actividad interactiva: Sector circular

1. En un círculo de radio 1,80 cm, halla el área de un sector circular de 60º y la longitud de su arco.
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Per%C3%ADmetros_y_%C3%A1reas"
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