Fórmulas trigonométricas (1ºBach)

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Revisión de 17:41 15 oct 2014

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Tabla de contenidos

1 Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
2 Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
3 Razones trigonométricas del ángulo doble
4 Razones trigonométricas del ángulo mitad
5 Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

I.1: $sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta$

I.2: $cos \, (\alpha + \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta$

I.3: $tg \, (\alpha + \beta) = \frac{tg \, \alpha + tg \, \beta}{1 - tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}$

Demostración:

I.1:

$sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}$

En el triángulo ABC: $\overline{CA}=\overline{AB} \cdot cos \, \alpha$
En el triángulo OAQ: $\overline{AQ}=\overline{OA} \cdot sen \, \alpha$
En el triángulo OBA: $\begin{cases} \overline{AB}=\overline{OB} \cdot sen \, \beta \\ \overline{OA}=\overline{OB} \cdot cos \, \beta \end{cases}$

Sustituyendo:

$sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{AB} \cdot cos \, \alpha +\overline{OA} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=$

$=\cfrac{\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot cos \, \alpha +\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=$

$= sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha$

I.2:

$cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}$

En el triángulo ABC: $\overline{BC}=\overline{AB} \cdot sen \, \alpha$
En el triángulo OAQ: $\overline{OQ}=\overline{OA} \cdot cos \, \alpha$

Sustituyendo:

$cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OA} \cdot cos \, \alpha -\overline{AB} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=$

$\cfrac{\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot cos \, \alpha -\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=$

$= cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta$

I.3:

$tg \, (\alpha + \beta)=\cfrac{sen \, (\alpha + \beta)}{cos \, (\alpha + \beta)}=\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}=$

(Dividiendo numerador y denominador por $cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta$ )

$=\cfrac{\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} + \cfrac{cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}{\cfrac{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} - \cfrac{sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}=\cfrac{tg \, \beta + tg \, \alpha}{1-tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}$

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos (12´41) Sinopsis:

Videotutorial.

Ejemplo: Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Calcula el valor exacto de $sen \, 75^\circ \,$ (sin calculadora)

Solución:

$sen \, 75^\circ= sen \, (45^\circ + 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ + cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+ \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1)}{4}$

Ejercicios: Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

3 ejercicios (5´23") Sinopsis:

Seno, coseno y tangente de la suma de tres ángulos.

Ejercicio (3´52") Sinopsis:

Videotutorial.

Ejercicio (3´01") Sinopsis:

Videotutorial.

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

II.1: $sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta$

II.2: $cos \, (\alpha - \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta + sen \, \alpha \cdot sen \, \beta$

II.3: $tg \, (\alpha - \beta) = \frac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1 + tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}$

Demostración:

Para las demostraciones basta sustituir $\alpha - \beta \,$ por $\alpha + (-\beta) \,$ y aplicar las fórmulas de la suma (I.1, I.2 y I.3) y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto:

$sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha$

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos (7´08) Sinopsis:

Videotutorial.

Ejemplo: Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Calcula el valor exacto de $sen \, 15^\circ$ (sin calculadora)

Solución:

$sen \, 15^\circ= sen \, (45^\circ - 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ - cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}- \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}-1)}{4}$

Razones trigonométricas del ángulo doble

Razones trigonométricas del ángulo doble

III.1: $sen \, (2 \, \alpha) = 2 \, sen \, \alpha \cdot cos \, \alpha$

III.2: $cos \, (2 \, \alpha) = cos^2 \, \alpha - sen^2 \, \alpha$

III.3: $tg \, (2 \, \alpha) = \frac{2 \, tg \, \alpha}{1 - tg^2 \, \alpha}$

Demostración:

Basta utilizar las fórmulas de la suma (I.1, I.2 y I.3) y hacer $\alpha= \beta \,$ .

Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo doble

Calcula el valor de $cos \, 120^\circ \,$ a partir de las razones trigonométricas de 60º.

Solución:

$cos \, 120^\circ= cos^2 \, 60^\circ - sen^2 \, 60^\circ=\cfrac{1}{4}-\cfrac{3}{4}=-\cfrac{1}{2}$

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Razones trigonométricas del ángulo mitad

IV.1: $sen \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{2}}$

IV.2: $cos \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \sqrt{\cfrac{1+cos \, \alpha}{2}}$

IV.3: $tg \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{1+cos \, \alpha}}$

Demostración:

Teniendo en cuenta que $\alpha= 2 \cdot \cfrac{\alpha}{2}$ y utilizando la fórmula III.2 del coseno del ángulo doble, tenemos:

$cos \, \alpha=cos \, \Big( 2 \cdot \cfrac{\alpha}{2} \Big) = cos^2 \, \cfrac{\alpha}{2}- sen^2 \cfrac{\alpha}{2}$

que combinado con la fórmula fundamental, nos da el siguiente sistema:

$\begin{cases} cos \, \alpha = cos^2 \cfrac{\alpha}{2} - sen^2 \cfrac{\alpha}{2} \\ 1= cos^2 \cfrac{\alpha}{2} + sen^2 \cfrac{\alpha}{2} \end{cases}$

Sumando y restando ambas ecuaciones, tenemos las siguientes expresiones:

$\begin{cases} 1 + cos \, \alpha = 2 \, cos^2 \cfrac{\alpha}{2} \\ 1 - cos \, \alpha = 2 \, sen^2 \cfrac{\alpha}{2}\end{cases}$

De estas igualdades se despejan $cos \, \cfrac{\alpha}{2}$ y $sen \, \cfrac{\alpha}{2}$ , y a partir de ellos, se obtiene el valor de $tg \, \cfrac{\alpha}{2}$ .

Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad (8´03) Sinopsis:

Videotutorial.

Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo mitad

Calcula el valor exacto de $tg \, 22^\circ \, 30'$ (sin calculadora).

Solución:

$tg \, 22^\circ \, 30'= tg \Big( \cfrac{45^\circ}{2} \Big)=\sqrt{\cfrac{1-cos \, 45^\circ}{1+cos \, 45^\circ}}=\sqrt{\cfrac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}}=\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}$

Ejercicios: Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad

Ejercicio (5´22") Sinopsis:

Videotutorial.

Ejercicio (4´58") Sinopsis:

Videotutorial.

Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos

Transformaciones de sumas en productos

V.1: $sen \, A + sen \, B = 2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}$

V.2: $sen \, A - sen \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}$

V.3: $cos \, A + cos \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}$

V.4: $cos \, A - cos \, B = -2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}$

Demostración:

V.1 y V.2:

Partiendo de las expresiones del I.1 y II.1 del seno de una suma y de una diferencia:

I.1: $sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta$

II.1: $sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta$

Sumando y restando ambas expresiones, obtenemos:

Sumando: $sen \, (\alpha + \beta) +sen \, (\alpha - \beta)= 2 \, sen \, \alpha \cdot cos \, \beta$ [1]

Restando: $sen \, (\alpha + \beta) -sen \, (\alpha - \beta)= 2 \, cos \, \alpha \cdot sen \, \beta$ [2]

Hacemos los siguientes cambios de variable: $\begin{cases} \alpha + \beta = A \\ \alpha - \beta = B \end{cases}$

Resolviendo este sistema:

$\begin{cases} \alpha = \cfrac{A+B}{2} \\ \beta = \cfrac{A-B}{2} \end{cases}$

que sustituidas en [1] y [2] nos da V.1 y V.2.

Transformación de una suma y de una diferencia en un producto (6´46) Sinopsis:

Videotutorial.

Ejemplo: Transformaciones de sumas en productos

Transforma en producto y calcula: $sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ$ .

Solución:

$sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ= 2 \, cos \, \cfrac{75^\circ+15^\circ}{2} \cdot sen \, \cfrac{75^\circ-15^\circ}{2}= 2 \, cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ= 2 \, \cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}$