Plantilla:Logaritmos (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Logaritmos
2 Propiedades de los logaritmos
3 Logaritmos decimales
- 3.1 Calculadora
4 Logaritmos neperianos
- 4.1 Calculadora
5 Ejercicios

Logaritmos

(pág. 34-36)

Sea $a \in \mathbb{R}^+~,~(a \ne 1)$ . Se define el logaritmo en base a de un número real $P\;$ , y se designa $log_a \ P$ , al exponente $x\;$ al que hay que elevar la base $a\;$ para obtener $P\;$ , es decir:

$log_a \ P=x \iff a^x=P$

Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación.

Ejercicios resueltos: Logaritmos

Hallar los siguientes logaritmos reconociendo la potencia correspondiente: $log_3 \ 81,\ log_{10} \ 0.01,\ log_5 \ 0.2, \ log_2 \ 0.125$

Solución:[Mostrar]

Logaritmo de un número positivo (7´38") Sinopsis:[Mostrar]

12 ejercicios sobre logaritmos (10´15") Sinopsis:[Mostrar]

6 ejercicios sobre logaritmos (5´27") Sinopsis:[Mostrar]

Propiedades de los logaritmos

Propiedades de los logaritmos:

1: Logaritmo de la base:

a) $log_a \ a=1$

b) $log_a \ a^n=n$

2: Logaritmo de 1:

$log_a \ 1=0$

3: Logaritmo de números negativos o nulos:

Si $P \le 0$ , entonces $log_a \ P$ no existe.

4: Igualdad y orden:

a) $P \ne Q \Rightarrow log_a \ P \ne log_a \ Q$

b) $P < Q \Rightarrow log_a \ P < log_a \ Q, \quad si~ a>1$

c) $P < Q \Rightarrow log_a \ P > log_a \ Q, \quad si~ 0<a<1$

5: Logaritmo de un producto:

$log_a \ (P \cdot Q)=log_a \ P + log_a \ Q$

6: Logaritmo de un cociente:

$log_a \ \cfrac{P}{Q}=log_a \ P - log_a \ Q$

7: Logaritmo de una potencia:

$log_a \ P^n=n \cdot log_a \ P$

8: Logaritmo de una raíz:

$log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P$

9: Cambio de base:

$log_a \ P=\cfrac{log_b \ P}{log_b \ a}$

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos

Sabiendo que $log_2 \ A=3.5 \ y \ log_2 \ B=-1.4$ , calcula:

a) $log_2 \ \cfrac{A \cdot B}{4}$

b) $log_2 \ \cfrac{2 \sqrt{A}} {B^3}$

Solución:[Mostrar]

Propiedades de los logaritmos (13´22") Sinopsis:[Mostrar]

5 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos (9´34") Sinopsis:[Mostrar]

5 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos (8´45") Sinopsis:[Mostrar]

2 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos (7´13") Sinopsis:[Mostrar]

4 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos (6´18") Sinopsis:[Mostrar]

Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales son aquellos de base 10. En vez de representarlos por $log_{10}\;$ , los representaremos, simplemente, por $log\;$ . Esto es:

$log_{10} \ P=log \ P$

Calculadora

Calculadora: Logaritmo decimal

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla .

Ejemplo:[Mostrar]

Antes de la existencia de las calculadoras, los logaritmos decimales se obtenían a partir de las llamadas tablas logarítmicas.

Haciendo uso de la propiedad del cambio de base, vista en un apartado anterior, podemos calcular logaritmos en cualquier base utilizando logaritmos decimales. He aquí un ejemplo:

Ejemplo: Cambio de base

Usa la calculadora para hallar $log_2 \ 15$ .

Solución:[Mostrar]

Cambio de base de logaritmos (7´16") Sinopsis:[Mostrar]

Logaritmos neperianos

Los logaritmos neperianos o logaritmos naturales son aquellos de base e (número e: 2.71828...). En vez de representarlos por $log_{e}\;$ , los representaremos, simplemente, por $ln\;$ . Esto es:

$log_{e} \ P=ln \ P$

Deben su nombre a Neper, matemático escocés, que los inventó en 1614.

Calculadora

Calculadora: Logaritmo neperiano

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla .

Ejemplo:[Mostrar]

John Napier (Neper)

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos

Averiguar la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: $ln \ y=x+ ln \ 7$

Solución:[Mostrar]

Ejercicios

(pág. 36)

Ejercicios propuestos: Logaritmos

1. Halla:

a) $log_2 \ 16$ b) $log_2 \ 0.25$ c) $log_9 \ 1$ d) $log \ 0.1$ e) $log_4 \ 64$ f) $log_7 \ 49$ g) $ln \ e^4$ h) $ln \ e^{-\frac{1}{4}}$ i) $log_5 \ 0.04$ j) $log_6 \ \left ( \cfrac{1}{216} \right )49$

3. Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la calculadora:

a) $log_2 \ 1500$ b) $log_5 \ 200$

4. Sabiendo que $log_5 \ A=1.8 \ y \ log_5 \ B=2.4$ , calcula>

5. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: $ln \ y=2x - ln \ 5$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Logaritmos_%281%C2%BABach%29"

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 [[Imagen:red_star.png|12px]]'''1.''' Halla:
-:'''a)''' <math>\sqrt[12]{x^9}</math>{{b4}}'''b)''' <math>\sqrt[12]{x^8}</math>{{b4}}'''c)''' <math>\sqrt[10]{y^5}</math>{{b4}}'''d)''' <math>\sqrt[6]{8}</math>{{b4}}'''e)''' <math>\sqrt[9]{64}</math>{{b4}}'''f)''' <math>\sqrt[8]{81}</math>
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 [[Imagen:red_star.png|12px]]'''3.''' Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la calculadora:
+:'''a)''' <math>log_2 \ 1500</math>{{b4}}'''b)''' <math>log_5 \ 200</math>{{b4}}
+[[Imagen:red_star.png|12px]]'''4.''' Sabiendo que <math>log_5 \ A=1.8 \ y \ log_5 \ B=2.4</math>, calcula>
-[[Imagen:red_star.png|12px]]'''4.''' Sabiendo que
 [[Imagen:red_star.png|12px]]'''5.''' Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: <math>ln \ y=2x - ln \ 5</math>
 }}

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Logaritmos

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