Plantilla:Progresiones geométricas
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| Línea 32: | Línea 32: | ||
| <math>a_n = a_1 \cdot r^{n-1}</math></center> | <math>a_n = a_1 \cdot r^{n-1}</math></center> | ||
| - | + | -------------- | |
| '''Demostración por el método de inducción completa:''' | '''Demostración por el método de inducción completa:''' | ||
| Línea 43: | Línea 43: | ||
| con lo que queda comprobada para n=1. | con lo que queda comprobada para n=1. | ||
| - | Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n. Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1. | + | Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n: |
| - | Sustituimos n por n+1 en el lado derecho de la fórmula: | + | <center><math>a_n = a_1 \cdot r^{n-1}</math>.{{b4}}[1]</center> |
| - | <center><math>a_1 \cdot r^{n+1-1}= a_1 \cdot r^n</math>{{b4}}[1]</center> | + | Por ser una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando por r el anterior término: |
| - | {{p}} | + | |
| - | Por otro lado sabemos que <math>a_{n+1}=a_n \cdot r \;</math>, y como hemos supuesto que la igualdad es cierta para el valor n, <math>a_n = a_1 \cdot r^{n-1}</math>, tenemos que: | + | <center><math>a_{n+1}=a_n \cdot r \;</math>{{b4}}[2]</center> |
| - | <center><math>a_{n+1}=a_n \cdot r = a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r = a_1 \cdot r^{n-1+1} = a_1 \cdot r^n\;</math></center> | + | Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1: |
| - | {{p}} | + | |
| - | con lo que llegamos a la misma expresión que en [1], verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción. | + | |
| + | <center><math>a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n \cdot r \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r =a_1 \cdot r^{((n+1)-1)}</math></center> | ||
| + | {{p}} | ||
| + | Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción. | ||
| }} | }} | ||
Revisión de 15:25 14 ago 2016
Tabla de contenidos[esconder] |
Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, 
, que llamaremos razón
Por ejemplo:
es una progresión geométrica de razón r=2.
Término general de una progresión geométrica
Término general de una progresión geométrica
- Sean
términos de una progresión geométrica de razón .
- Entonces se cumple que:
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Demostración:[Mostrar]
[2]![a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n \cdot r \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r =a_1 \cdot r^{((n+1)-1)}](/wikipedia/images/math/b/5/0/b50e2fb51571873946095ab7579f8b90.png)
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de términos de una progresión geométrica
- La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
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Demostración:[Mostrar]
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
- La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que
se obtiene así:
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Demostración:[Mostrar]
tiende a 0.
tiende a 
y a ese valor límite de 
.Producto de términos de una progresión geométrica
Producto de n términos de una progresión geométrica
- El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
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Demostración:[Mostrar]
