Algunos límites importantes (1ºBach)
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Revisión de 15:52 15 ago 2016 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→El número áureo, <math>\phi \;</math>) Ir a siguiente diferencia → |
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Línea 111: | Línea 111: | ||
<center><math>lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618...</math> ('''número áureo''')</center> | <center><math>lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618...</math> ('''número áureo''')</center> | ||
|demo= | |demo= | ||
- | Lo siguiente no es una demostración, sino una comprobación: | + | '''Comprobación:''' |
- | + | Si en la sucesión de Fibonacci | |
- | En efecto, si en la sucesión de Fibonacci | + | |
<center><math>1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots</math></center> | <center><math>1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots</math></center> | ||
Línea 124: | Línea 123: | ||
<center><math>1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi</math></center> | <center><math>1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi</math></center> | ||
+ | --------------- | ||
+ | '''Demostración:''' | ||
+ | |||
+ | Por construcción de la sucesión de Fibonacci: | ||
+ | |||
+ | <center><math>F_{n+1}=F_n + F_{n-1} \;</math></center> | ||
+ | |||
+ | Dividiendo ambos miembros por <math>F_n \;</math>: | ||
+ | |||
+ | <center><math>\frac {F_{n+1}}{F_n}=1 + \frac {F_{n-1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{\cfrac {F_n}{F_{n-1}}} </math></center> | ||
+ | |||
+ | Tomando límites en ambos miembros: | ||
+ | |||
+ | <center><math>lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}} </math></center> | ||
+ | |||
+ | Llamando <math>L = lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n}=lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}} </math>, tenemos: | ||
+ | |||
+ | <center><math>L = 1 + \frac {1}{L} \longrightarrow L^2-L-1=0 </math></center> | ||
+ | |||
+ | ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es: | ||
+ | |||
+ | <center><math>L = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi </math></center> | ||
+ | |||
+ | con lo que queda demostrado. | ||
+ | |||
}} | }} | ||
}} | }} | ||
Línea 153: | Línea 177: | ||
{{p}} | {{p}} | ||
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==Ejercicios== | ==Ejercicios== | ||
{{wolfram | {{wolfram |
Revisión de 15:52 15 ago 2016
Tabla de contenidos[esconder] |
Suma de los términos de una progresión geométrica
(pág. 60-61)
Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica
Sea una progresión geométrica de razón
y sea
la suma de sus n primeros términos
- Si
, entonces el límite de
existe y su valor es:
- Si

- Si
, entonces el límite de
es
o
:
- Si

- Si
, entonces el límite de
no existe.
- Si
El número e
![]() Leonard Euler: El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido) |
El número áureo, 
La sucesión de Fibonacci y el número áureo Si a partir de la sucesión de Fibonacci ![]() construimos, por recurrencia, la sucesión ![]() se cumple que: ![]() |
Ejercicios
Actividad: Algunos límites importantes
|