Algunos límites importantes (1ºBach)
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| Línea 111: | Línea 111: | ||
| <center><math>lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618...</math> ('''número áureo''')</center> | <center><math>lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618...</math> ('''número áureo''')</center> | ||
| |demo= | |demo= | ||
| - | Lo siguiente no es una demostración, sino una comprobación: | + | '''Comprobación:''' |
| - | + | Si en la sucesión de Fibonacci | |
| - | En efecto, si en la sucesión de Fibonacci | + | |
| <center><math>1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots</math></center> | <center><math>1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots</math></center> | ||
| Línea 124: | Línea 123: | ||
| <center><math>1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi</math></center> | <center><math>1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi</math></center> | ||
| + | --------------- | ||
| + | '''Demostración:''' | ||
| + | |||
| + | Por construcción de la sucesión de Fibonacci: | ||
| + | |||
| + | <center><math>F_{n+1}=F_n + F_{n-1} \;</math></center> | ||
| + | |||
| + | Dividiendo ambos miembros por <math>F_n \;</math>: | ||
| + | |||
| + | <center><math>\frac {F_{n+1}}{F_n}=1 + \frac {F_{n-1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{\cfrac {F_n}{F_{n-1}}} </math></center> | ||
| + | |||
| + | Tomando límites en ambos miembros: | ||
| + | |||
| + | <center><math>lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}} </math></center> | ||
| + | |||
| + | Llamando <math>L = lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n}=lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}} </math>, tenemos: | ||
| + | |||
| + | <center><math>L = 1 + \frac {1}{L} \longrightarrow L^2-L-1=0 </math></center> | ||
| + | |||
| + | ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es: | ||
| + | |||
| + | <center><math>L = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi </math></center> | ||
| + | |||
| + | con lo que queda demostrado. | ||
| + | |||
| }} | }} | ||
| }} | }} | ||
| Línea 153: | Línea 177: | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| + | |||
| ==Ejercicios== | ==Ejercicios== | ||
| {{wolfram | {{wolfram | ||
Revisión de 15:52 15 ago 2016
Tabla de contenidos[esconder] |
Suma de los términos de una progresión geométrica
(pág. 60-61)
Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica
Sea 
una progresión geométrica de razón 
y sea 
la suma de sus n primeros términos
- Si
, entonces el límite de 
existe y su valor es:
- Si
- Si
, entonces el límite de es 
o 
:
- Si
- Si
, entonces el límite de no existe.
- Si
Demostración:[Mostrar]
y 
.
, entonces
y 
. Mientras que si 
, entonces 
va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión 
, el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría:
, la progresión quedaría constante:
, .
, cuyo límite es:
El número e
La sucesión del número e
 |  |
, se define como el límite de una sucesión:
El número áureo, 
= 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,
(número áureo)
, tenemos:
Ejercicios
 Actividad: Algunos límites importantes
|
.
