Plantilla:Raiz de 2 no es racional

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(Diferencia entre revisiones)

 :No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} no es racional.
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-Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que <math>\sqrt{2}</math> es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.
+Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.
-Por tanto, supongamos que <math>\sqrt{2}</math> es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros <math>\cfrac {a}{b}</math> que es igual a <math>\sqrt{2}</math>. Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible simplificarla.
+Por tanto, supongamos que{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros <math>\cfrac {a}{b}</math> que es igual a{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}}. Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible simplificarla.
 <center><math>\cfrac {a}{b}=\sqrt{2}</math></center>
 <center><math>\cfrac {a^2}{b^2}=2</math></center>
-Multiplicamos por <math>b^2\;\!</math> los dos miembros de la igualdad:
+Multiplicamos por {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}} los dos miembros de la igualdad:
 <center><math>a^2=2 \cdot b^2</math></center>
-Esta expresión nos dice que <math>a^2\;\!</math> es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número.
+Esta expresión nos dice que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>a^2\;\!</math>}} es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número.
-Pero <math>a^2\;\!</math> es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.
+Pero {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>a^2\;\!</math>}} es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.
-Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de <math>b^2\;\!</math>, el otro 2 tiene que estar en el <math>b^2\;\!</math>
+Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}}, el otro 2 tiene que estar en el {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}}
-Eso quiere decir que <math>b^2\;\!</math> también tiene que ser par, y por tanto <math>b\;\!</math> también es par.
+Eso quiere decir que {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}} también tiene que ser par, y por tanto {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b\;\!</math>}} también es par.
-Pero si <math>a\;\!</math> es par y <math>b\;\!</math> también, la fracción  no es irreducible, como habíamos supuesto.
+Pero si {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>a\;\!</math>}} es par y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b\;\!</math>}} también, la fracción  no es irreducible, como habíamos supuesto.
 Ya hemos llegado al absurdo.
 }}

Revisión de 08:59 29 ago 2016

Proposición

No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número $\sqrt{2} \,$ no es racional.

Demostración:[Mostrar]

Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que $\sqrt{2} \,$ es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.

Por tanto, supongamos que $\sqrt{2} \,$ es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros $\cfrac {a}{b}$ que es igual a $\sqrt{2} \,$ . Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible simplificarla.

$\cfrac {a}{b}=\sqrt{2}$

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:

$\cfrac {a^2}{b^2}=2$

Multiplicamos por $b^2\;\!$ los dos miembros de la igualdad:

$a^2=2 \cdot b^2$

Esta expresión nos dice que $a^2\;\!$ es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número.

Pero $a^2\;\!$ es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.

Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de $b^2\;\!$ , el otro 2 tiene que estar en el $b^2\;\!$

Eso quiere decir que $b^2\;\!$ también tiene que ser par, y por tanto $b\;\!$ también es par.