Algunos límites importantes (1ºBach)

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 +::a) Calcula sus 10 primeros términos.
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Tabla de contenidos

El número e

ejercicio

La sucesión del número e

El número e\;, se define como el límite de una sucesión:
lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...
Demostración:
La demostración excede el nivel de este curso. Ver demostración.

ejercicio

Otra sucesión del número e

Dada la sucesión:
a_n=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+...+\cfrac{1}{n!}
se cumple que:
lim \, a_n= e \;
Demostración:

Demostraremos sólo que esta sucesión tiene límite. Demostrar que el límite es el número e \; excede el nivel del curso.

Para la demostración usaremos el teorema dice que "Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente".

En este caso, nuetra sucesión es monotona creciente y acotada superiormente. Veámoslo:

  • Es creciente:
Si, puesto que cada término se obtiene sumando al anterior un número positivo:
a_{n+1}=a_n+\cfrac{1}{(n+1)!}
  • Está acotada superiormente por 3:
En efecto, como
\cfrac{1}{3!}<\cfrac{1}{4}, \ \cfrac{1}{4!}<\cfrac{1}{8}, \ \cfrac{1}{5!}<\cfrac{1}{16}, ...
tenemos que
a_n < 1 + 1 + \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{4} + \cfrac{1}{8} + \cfrac{1}{16}+ ...=1+ \left( \cfrac{1}{1-\frac{1}{2}} \right)=1+2=3
donde hemos hecho uso de la fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón 1/2.
Leonard Euler: El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)
Aumentar
Leonard Euler: El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)

Un número llamado e (13')     Sinopsis:

Hay números que nos sorprenden por su tendencia a aparecer en las situaciones más inesperadas. ¿ Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...? Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico. Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e.

El número áureo, \phi \;

ejercicio

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Si a partir de la sucesión de Fibonacci

F_n\; = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,

construimos, por recurrencia, la sucesión

b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}

se cumple que:

lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618... (número áureo)
Demostración:

Comprobación: Si en la sucesión de Fibonacci

1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots

dividimos cada término entre el anterior, tenemos:

\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots

que expresada con decimales nos da:

1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi

Demostración:

Por construcción de la sucesión de Fibonacci:

F_{n+1}=F_n + F_{n-1} \;

Dividiendo ambos miembros por F_n \;:

\frac {F_{n+1}}{F_n}=1 + \frac {F_{n-1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{\cfrac {F_n}{F_{n-1}}}

Tomando límites en ambos miembros:

lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}}

Llamando L = lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n}=lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}, tenemos:

L = 1 + \frac {1}{L} \longrightarrow L^2-L-1=0

ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:

L = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi
con lo que queda demostrado.
La divina proporción: el número phi (6')     Sinopsis:

Documental sobre el número aureo.

El número aureo (18´)     Sinopsis:

El programa presenta a este exótico número ya conocido por los griegos. Veremos cómo se obtiene, qué son los rectángulos áureos y su presencia en infinidad de manifestaciones artísticas, en Pintura, Arquitectura, Escultura... a lo largo de la historia. Pero el número de oro no es un mero invento del hombre, la naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famosos número hace acto de presencia.

Phi, el número de oro     Descripción:

A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.


Suma de los términos de una progresión geométrica

ejercicio

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica

Sea a_n\; una progresión geométrica de razón r\; y sea S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1} la suma de sus n primeros términos
  • Si 0<\; \mid r \mid \; <1, entonces el límite de S_n\; existe y su valor es:
S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}
  • Si r\ge 1\;, entonces el límite de S_n\; es +\infty \; o -\infty:
S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}
  • Si r\le -1\;, entonces el límite de S_n\; no existe.
Demostración:
  • Si 0<\; \mid r \mid \; <1, entonces
lim \ r^n = 0 \;    y    lim \ a_1 r^n = 0.

(Por ejemplo, si a1 = 3 y r = 0.5, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.)

y por tanto

S_{\infty}=lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}
  • Si r>1\;, entonces
lim \ r^n \; = +\infty  y  lim \ a_1 r^n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}

(Por ejemplo, si a1 = 3 y r = 5, al multiplicar sucesivas veces 3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a +\infty. Mientras que si a1 = − 3 y r = 5, al multiplicar sucesivas veces -3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a -\infty)

y por tanto

S_{\infty}= lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}
  • Si r<-1\;, entonces a_1 r^n\; va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión S_n\; también va a oscilar en signo y no tiene límite.
  • Si r=-1\;, el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría:
a_1,\ -a_1,\ a_1,\ -a_1,\ \cdots

y la sucesión S_n \; sería:

a_1,\ 0,\ a_1,\ 0,\ \cdots

que oscila y no tiene límite.

  • Si r=1\;, la progresión quedaría constante:
a_1,\ a_1,\ a_1,\ a_1,\ \cdots, .

y tendríamos que S_n = n \cdot a_1 \;, cuyo límite es:

S_{\infty}=lim \ S_n = S_n = lim \ n \cdot a_1 = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}

Ejercicios

wolfram

Actividad: Algunos límites importantes

1. Dada la sucesión de Fibonacci F_n \;
a) Calcula sus 10 primeros términos.
b) Calcula los 10 primeros términos de \frac{F_{n+1}}{F_{n}}.
c) Calcula lim \ \frac{F_{n+1}}{F_{n}}

2. Dada la sucesión \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n
a) Calcula sus 10 primeros términos.
b) Calcula lim \ \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n

3. Dada la sucesión \left ( 1 - \frac{1}{n} \right )^n
a) Calcula sus 10 primeros términos.
b) Calcula lim \ \left ( 1 - \frac{1}{n} \right )^n

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
1.
a) Table[Fibonacci[n],{n,1,10}]
b) Table[Fibonacci[n+1]/Fibonacci[n],{n,1.,10.}]
c) limit Fibonacci[n+1]/Fibonacci[n] as n->+oo
2.
a) Table[(1+1/n)^n,{n,1.,10.}]
b) limit (1+1/n)^n as n->+oo


3.
a) Table[(1-1/n)^n,{n,1.,10.}]
b) limit (1-1/n)^n as n->+oo
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Algunos_l%C3%ADmites_importantes_%281%C2%BABach%29"
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