Operaciones con números naturales (1º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Suma de números naturales
2 Propiedades de la suma
3 Resta de números naturales
4 Multiplicación o producto
5 Propiedades de la multiplicación
- 5.1 Producto por 10, 100, 1000, ....
6 División
- 6.1 Cociente por defecto y por exceso
- 6.2 Propiedades de la división
7 Orden en el que han de hacerse las operaciones
8 Uso del Paréntesis

Suma de números naturales

Sumar es unir, juntar, añadir.

Propiedades de la suma

Propiedades de la suma

Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

$a+b = b+a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Ejemplo:

Conmutativa:

$8 + 6 = 6 + 8\,$

$14 = 14\,$

Asociativa:

$( 3 + 2 ) + 6 = 3 + ( 2 + 6 )\,$

$5 + 6 = 3 + 8\,$

$11 = 11\,$

Sumas Descripción:

Cálculo mental con sumas.

Resta de números naturales

Restar es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra es decir , calcular la diferencia.

Restas Descripción:

Cálculo mental con restas.

Ejercicios propuestos: Sumas y restas

(Pág. 12)

4, 5

Solución:

Multiplicación o producto

Multiplicar, es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.

Ejemplo

Si un comerciante vende 5 equipos de sonido a 250 € cada uno, el dinero que ingresa es:

$250 + 250 + 250 + 250 + 250 = 250 \cdot 5 = 1250$ €

Multiplicación 1 Descripción:

Cálculo mental con multiplicaciones.

Multiplicación 2 Descripción:

Asocia los factores con su producto.

Propiedades de la multiplicación

Propiedades de la multiplicación

Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

$a \cdot b = b \cdot a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o rsta) de los productos del número por cada sumando.

$a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c$

Ejemplo:

Conmutativa:

$8 \cdot 6 = 6 \cdot 8\,$

$48 = 48\,$

Asociativa:

$( 3 \cdot 2 ) \cdot 6 = 3 \cdot ( 2 \cdot 6 )\,$

$6 \cdot 6 = 3 \cdot 12\,$

$36 = 36\,$

Distributiva:

$3 \cdot (2 + 6) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 6 \,$

$3 \cdot 8 = 6 + 18 \,$

$24 = 24\,$

Ejemplo: Propiedad distributiva del producto

Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €?

Solución:

Podemos resolver el problema de dos formas:

Primera forma:

Alfredo-----> $15 \cdot 4 = 60$

Teresa------> $15 \cdot 2 = 30$

Total---------> $15 \cdot 4 + 15 \cdot 2 = 60 + 30= 90\,$ €

Segunda forma:

Alfredo y Teresa compran 4 + 2 entradas

Luego en total gastan entre los dos: $15 \cdot (4 + 2 )= 15 \cdot 6 = 90$ €

Propiedad distributiva Descripción:

Asocia las expresiones numéricas equivalentes.

Producto por 10, 100, 1000, ....

Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10. 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).

Ejemplos

$12 \cdot 10 = 120$
$12 \cdot 100 = 1200$
$12 \cdot 1000 = 12000$

Ejercicios propuestos: Multiplicación

(Pág. 13)

7, 10, 11

Solución:

División

Dividir consiste en repartir en partes iguales o partir en partes de un determinado tamaño.

Una división puede ser exacta o entera dependiendo de su resto:

Si el resto es 0 la división es exacta y el dividendo es igual al divisor por el cociente:

$D = d \cdot c\,$

Si el resto es distinto de cero la división es entera y el dividendo es igual al divisor por cociente mas el resto:

$D= d \cdot c + r\,$

División Descripción:

Cálculo mental con divisiones.

División entera Descripción:

Cálculo con divisiones.

Cociente por defecto y por exceso

Ejemplo: Cociente por defecto y por exceso

Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.

a) ¿Cuántos taxis completarán?

b) ¿Cuántos taxis se necesitan?

c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?

Solución:

a) Completan 10 taxis y sobran 3 turistas. ( $43= 10 \cdot 4 + 3$ )
b) Se necesitan 11 taxis, aunque en el último taxi quede un asiento libre.

c) El cociente por defecto sería 10 y el cociente por exceso sería 11.

Propiedades de la división

Propiedad Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.

{{{enunciado}}}

Ejemplo: Propiedades de la división

Observa la siguiente división exacta , $360 : 120 = 3\,$ , y escribe los cocientes de las siguientes divisiones sin hacerlas:

a) $(3 \cdot 360) : (3 \cdot 120)$

b) $36 : 12\,$

c) $18 : 6\,$

Solución:

a) 3; b) 3; c) 3.

Ejercicios propuestos: División

(Pág. 15)

16, 19

12, 14, 17, 18

Solución:

Orden en el que han de hacerse las operaciones

En las expresiones con operaciones combinadas, hemos de atender:

1º a los paréntesis.
2º a las multiplicaciones y a las divisiones.
3º a las sumas y a las restas.

Ejercicio: Prioridad en las operaciones

2. Calcula utilizando el orden de operaciones

a) 4 . 6 + 2 . 8 - 3 . 4 =

b) 4 . (6 + 2) . 8 - 3 . 4 =

c) 4 . 6 + 2 . (8 - 3) . 4 =

d) 4 . 6 + (2 . 8 - 3) . 4 =

e) 4 . (6 + 2 . 8) - 3 . 4 =

f) 4 . (6 + 2 . 8 - 3) . 4 =

Solución:

a)28; b)244; c)64; d)76; e)76; f)304;

Uso del Paréntesis

En las expresiones con operaciones combinadas, los paréntesis empaquetan resultados y modifican el orden en que han de realizarse las operaciones.

Ejemplo: Sumas y Restas con paréntesis y sin paréntesis

Jesús está mirando los últimos movimientos en su cuenta corriente. Tenía 2500 €; primero pago 450 € de gas, después pagó 325 € de luz y por último ingresó 1000 €.

¿Cuánto dinero le queda a Jesús en su cuenta?.

Solución:

Se puede hacer de dos formas:

a) 2500 - 450 - 325 + 1000 = 3500 - 775 = 2725

b) 2500 - ( 450 +325 )+ 1000 = 2500 -775 + 1000 = 2725

En ambos casos la solución es 2725 €.

Ejercicio: Sumas y restas con paréntesis

1. Calcula

a) 52 - (25 - 13)=

b) 40 - (32 - 16)=

c) 28 + (11 - 6)=

d) 37 + (15 - 12)=

Solución:

a) 40; b) 24; c) 33; d) 40

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Operaciones_con_n%C3%BAmeros_naturales_%281%C2%BA_ESO%29"

Categorías: Matemáticas | Números

 ===Propiedades de la división===
-{{Caja Amarilla|texto='''Alteraciones del cociente en una división'''
+{{Teorema_sin_demo||titulo=Propiedad
-*'''Exacta:''' Si el dividendo y el divisor de una división exacta se multiplica o se divide por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía.<br>
+Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.
-*'''Entera: ''' Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número<br>
 }}
 <br>
 a) 3; b) 3; c) 3.
 }}
-<br>
+{{p}}
 {{ejercicio
-|titulo=Ejercicio: ''Propiedades de la división''
+|titulo=Ejercicios propuestos: ''División''
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 {{ejercicio_cuerpo
 |enunciado=
-:Observa la siguiente división entera , 350: 8 = 43 y resto 6 , y calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones  sin hacerlas:
+{{b4}}(Pág. 15)
-::a) <math>(350 \cdot 2)  : (8 \cdot 2)</math>
-::b) <math>(350 \cdot 3)  : (8 \cdot 3)</math>
+{{b4}}[[Imagen:red_star.png|12px]] 16, 19
-::c) <math>(350 : 2)  : (8 : 2)\,</math>
-{{p}}
+{{b4}}[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 12, 14, 17, 18
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-a) cociente=43 resto=12<br>
-b) cociente=43 resto=18<br>
-c) cociente=43 resto=3
 }}
 }}

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Suma de números naturales

Propiedades de la suma

Resta de números naturales

Multiplicación o producto

Propiedades de la multiplicación

Producto por 10, 100, 1000, ....

División

Cociente por defecto y por exceso

Propiedades de la división

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