Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (1ºBach)

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Tabla de contenidos

[esconder]

(Pág. 107)

Circunferencia goniométrica

Vamos a establecer un sistema de referencia para el estudio de los ángulos de cualquier cuadrante.

Consideremos una circunferencia de radio 1 centrada en un sistema de referencia cartesiano, es decir, con su centro en el origen de coordenadas O. Sobre ella situaremos nuestro triángulo rectángulo ABC, haciendo coincidir su vértice A con O, el cateto contiguo al ángulo \alpha \; lo situaremos en el eje X positivo y la hipotenusa coincidiendo con el radio, tal y como se muestra en la figura. A esta circunferencia la llamaremos circunferencia goniométrica.

Teniendo en cuenta que \overline{AB} = \overline{OE}= radio = 1, las razones trigonométricas del águlo \alpha \; se expresan de la siguiente manera:


  • sen \, \alpha = \cfrac{\overline{CB}}{\overline{AB}}=\overline{CB}
  • cos \, \alpha = \cfrac{\overline{OC}}{\overline{AB}}=\overline{OC}
  • tg \, \alpha = \cfrac{\overline{DE}}{\overline{OE}}=\overline{DE}

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Obsérvese como las coordenadas del punto B, del apartado anterior, son (cos \, \alpha , sen \, \alpha ). Así podemos dar la siguiente definición del seno y del coseno de un ángulo de cualquier cuadrante:

  • Dado un ángulo \alpha \,, se define el coseno y el seno de dicho ángulo, como las coordenadas del punto de corte, B, del segundo lado del ángulo con la circunferencia goniométrica:
B=(cos \, \alpha , sen \, \alpha )
  • Definiremos la tangente del ángulo, como:
tg \, \alpha = \cfrac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}    ,    \alpha \ne 90^\circ \, , 180^\circ

Signo de las razones trigonométricas

Los ejes cartesianos dividen a la circunferencia goniométrica en cuatro regiones denominadas cuadrantes:

  • Un ángulo \alpha\;, pertenece al primer cuadrante si 0^\circ< \alpha <90^\circ
  • Un ángulo \alpha\;, pertenece al segundo cuadrante si 90^\circ< \alpha <180^\circ
  • Un ángulo \alpha\;, pertenece al tercer cuadrante si 180^\circ< \alpha <270^\circ
  • Un ángulo \alpha\;, pertenece al cuarto cuadrante si 270^\circ< \alpha <360^\circ

Según en qué cuadrante estemos, el segmento OC que determina al coseno, puede estar situado a la derecha o a la izquierda del origen O. Así, asignaremos signo positivo al coseno si está a la derecha de O y negativo si está a la izquierda.

Analogamente, el segmento CB que determina al seno, puede estar situado por encima o por debajo del eje X . Asignaremos signo positivo al seno si está por encima y negativo si está por debajo.

Los siguientes gráficos muestran los distintos casos según en qué cuadrante se encuentre el ángulo:

Cuadrante I
( seno + / cos + )
Cuadrante II
( seno + / cos - )
Cuadrante III
( seno - / cos - )
Cuadrante IV
( seno - / cos + )

Relaciones fundamentales de la trigonometría (ángulos de cualquier cuadrante)

Las relaciones fundamentales de la trigonometría, ya estudiadas anteriormente, siguen siendo válidas con las definiciones dadas para ángulos de cualquier cuadrante.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera

    (Pág. 107)

     1,2,3

     4

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