Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)
De Wikipedia
| Revisión de 14:52 5 oct 2016 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Multiplicación de números complejos en forma polar) ← Ir a diferencia anterior |
Revisión de 14:55 5 oct 2016 Coordinador (Discusión | contribuciones) Ir a siguiente diferencia → |
||
| Línea 80: | Línea 80: | ||
| }} | }} | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| - | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: '' Potencias de complejos en forma polar''|cuerpo= | + | |
| - | {{ai_cuerpo | + | {{AI_enlace |
| - | |enunciado=:Efectúa las siguientes potencias de complejos en forma polar y compruébalo en la escena: | + | |titulo1=Actividad: ''Potencias de complejos en forma polar'' |
| + | |descripcion=Efectúa las siguientes potencias de complejos en forma polar y compruébalo en la escena: | ||
| ::'''a)''' <math>(1_{60^\circ})^4</math>{{b4}} '''b)''' <math>(3_{90^\circ})^2</math>{{b4}} '''c)''' <math>(2_{120^\circ})^3</math>{{b4}} '''d)''' <math>(1_{45^\circ})^6</math> | ::'''a)''' <math>(1_{60^\circ})^4</math>{{b4}} '''b)''' <math>(3_{90^\circ})^2</math>{{b4}} '''c)''' <math>(2_{120^\circ})^3</math>{{b4}} '''d)''' <math>(1_{45^\circ})^6</math> | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| - | |actividad=Mueve los puntos azules o, con el botón derecho sobre ellos, elige "Redefine" del menú contextual, para modificar los valores de los números complejos. | + | Mueve los puntos azules o, con el botón derecho sobre ellos, elige "Redefine" del menú contextual, para modificar los valores de los números complejos. |
| Línea 95: | Línea 96: | ||
| name=myframe | name=myframe | ||
| </iframe></center> | </iframe></center> | ||
| - | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_pot.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |url1=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_pot.html |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene la potencia de un complejo. | + | |
| - | + | ||
| - | }} | + | |
| }} | }} | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
Revisión de 14:55 5 oct 2016
Tabla de contenidos[esconder] |
Multiplicación de números complejos en forma polar
Producto de complejos en forma polar
El producto de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el producto de los módulos y el argumento la suma de los argumentos de los respectivos complejos.
|
|
![=r \cdot s \, [cos \alpha \, \cos \beta + i \, cos \alpha \, sen \beta + i \, sen \, \alpha \, cos \, \beta + i^2 \, sen \, \alpha \, sen \, \beta ]=](/wikipedia/images/math/5/9/1/591804e8ee81496a02138c096a8d2d59.png)
![=r \cdot s \, [cos \alpha \, \cos \beta - sen \, \alpha \, sen \, \beta+ i \, ( cos \alpha \, sen \beta + sen \, \alpha \, cos \, \beta )]=](/wikipedia/images/math/2/f/c/2fcccb290acf0ed109301fe82ce33846.png)
![=r \cdot s \, [cos (\alpha + \beta ) + i \, sen \, ( \alpha + \beta )]=(r \cdot s)_{\alpha + \beta}](/wikipedia/images/math/7/6/d/76d54879d578a64886a5aeeafb79b32e.png)
Potencias de números complejos en forma polar
Potencia de un complejo en forma polar
- La potencia n-ésima de un compejo se obtiene de la siguiente manera:
|
|
 Ejercicios:Potencias de números complejos en forma polar |
b) 
c) 
d) 
Fórmula de Moivre
División de números complejos en forma polar
División de complejos en forma polar
La división de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el cociente de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos de los respectivos complejos.
|
|
 Actividad interactiva: División de complejos en forma polar
|
Radicación de números complejos en forma polar
Un número complejo 
es una raíz n-ésima de otro complejo 
si se cumple que 
.
Raíces de un complejo
- Un número complejo
tiene exactamente n raíces n-ésimas 
, que se obtienen de la siguiente manera:
![r_\alpha : \begin{cases} r=\sqrt[n]{R} \\ \alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}\, , \quad k=0,1,\cdots,(n-1) \end{cases}](/wikipedia/images/math/4/a/5/4a5dd4f3f68e14f0c8013ccc27085e5e.png)
![\sqrt[n]{z}=w \iff z=w^n \iff (R_A)=(r_\alpha)^n \iff R_A=(r^n)_{n \, \alpha}](/wikipedia/images/math/b/7/7/b7781ba8724c717e4f2b2423267ad5bf.png)
![R_A=(r^n)_{n \, \alpha} \iff \begin{cases} r^n=R \iff r=\sqrt[n]{R} \\ n \, \alpha = A + 2k \pi \iff \alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}\, , \quad k=0,1,\cdots,(n-1) \end{cases}](/wikipedia/images/math/c/8/0/c808af8500c52fdd7279ea16c43c86cc.png)
![\sqrt[3]{1+i}](/wikipedia/images/math/8/8/3/883e0a5f87d5879d879d48e3bbe5789d.png)
:
a forma polar:
![\sqrt[3]{(\sqrt{2})_{45^\circ}}=r_\alpha](/wikipedia/images/math/c/5/e/c5e849c7713f59a373e993c0d21a8bd5.png)
, siendo ![\begin{cases} r=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \\ \alpha=\cfrac{45^\circ +2k \pi}{3}\, , \quad k=0,1,2 \end{cases}](/wikipedia/images/math/e/3/3/e338be4b3b0010eb3dd1abb6ea6669f0.png)
![r_\alpha : \begin{cases} r=\sqrt[6]{2} \\ \alpha= 15^\circ \, , \quad 135^\circ \, , \quad 257^\circ \end{cases}](/wikipedia/images/math/d/9/7/d978739b21c71e554a372161eb06a8b7.png)
![(\sqrt[6]{2})_{15^\circ} \, , \quad (\sqrt[6]{2})_{135^\circ} \, , \quad (\sqrt[6]{2})_{257^\circ}](/wikipedia/images/math/a/d/b/adb33551ba73519cab6c3b98e938918b.png)
Ejercicios:Radicación de números complejos expresados en forma polar |
Actividad interactiva: Raíces de complejos en forma polar
|
b) ![\sqrt[3]{8_{120^\circ}}](/wikipedia/images/math/0/2/9/02928c662b770c320d65ec6f6ebb988d.png)
c) ![\sqrt[5]{5_{270^\circ}}](/wikipedia/images/math/a/a/9/aa96d66344414293e64e280028494f05.png)
d) ![\sqrt[4]{6_{120^\circ}}](/wikipedia/images/math/5/b/2/5b29523f5dc1a2d4bbc07a377e06bae8.png)
