Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)

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1 Vectores
2 Operaciones con vectores

Vectores

Vectores fijos

Un vector fijo es un segmento orientado que queda determinado por un punto origen, A y otro punto extremo, B. Lo simbolizamos $\overrightarrow{AB}$ .

Características de un vector:

El módulo del vector $\overrightarrow{AB}$ es la longitud del segmento $\overline{AB}$ , se representa por $|\overrightarrow{AB}|$ .
La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquiera de sus paralelas.
Cada dirección admite dos sentidos opuestos: el que va de A a B y el que va de B a A. Gráficamente se representa con una punta de flecha.

Vector nulo

El vector nulo es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos $\overrightarrow{0}$ .

Vectores opuestos

Dos vectores, $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , son opuestos si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos $\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{v}$ .

Vectores opuestos: $\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{v}$

Vectores equipolentes. Vectores libres

Dos vectores, $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos). Lo simbolizaremos $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$

Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como representante del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama vector libre. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: $\overrightarrow{u} \, , \overrightarrow{v} \, , ...$

Vectores equipolentes

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}$

Actividad interactiva: Vectores

Actividad 1: Módulo, dirección y sentido de un vector fijo.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2: Vectores equipolentes.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 3: Vectores libres.

Actividad:[Mostrar]

Operaciones con vectores

Producto de un vector por un número

El producto de un número real $k\,$ por un vector $\overrightarrow{v}$ es otro vector $k\overrightarrow{v}$ que tiene las siguientes características:

Módulo: $|k\overrightarrow{v}|=|k| \cdot |\overrightarrow{v}|$ ( $|k|\,$ es el valor absoluto del número real $k\,$ )
Dirección: la misma que $\overrightarrow{v}$ .
Sentido: el mismo que $\overrightarrow{v}$ si $k>0\,$ y opuesto si $k<0\,$ .

$\overrightarrow{v}=2 \overrightarrow{u} \qquad \overrightarrow{w}=- \frac{1}{2} \overrightarrow{u}$

Actividad interactiva: Producto de un vector por un número

Actividad 1: En esta escena representaremos el producto de un vector por un número.

Actividad:[Mostrar]

Suma y resta de vectores

Suma de vectores:

Dados dos vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , su suma es otro vector, $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ , que tiene como origen el origen de $\overrightarrow{u}$ y por el extremo, el extremo de $\overrightarrow{v}$ .

Suma de vectores (2 métodos) Descripción: [Mostrar]

Resta de vectores:

Para restar dos vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , sumamos al vector $\overrightarrow{u}$ el opuesto de $\overrightarrow{v}$ . Es decir, $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u} + (- \overrightarrow{v})$ .

Método del paralelogramo:

Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente.

Actividad interactiva: Resta de vectores

Actividad 1: En la escena siguiente vamos a ver como es la resta de dos vectores.

Actividad:[Mostrar]

Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , otro vector $\overrightarrow{w}$ es combinación lineal de ellos si podemos encontrar dos números reales a y b tales que

$\overrightarrow{w}=a \cdot \overrightarrow{u}+ b \cdot \overrightarrow{v}$

En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector $\overrightarrow{w}$ es combinación lineal de los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ , siendo los coeficientes $a=3\,$ y $b=2\,$ .

La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, un vector $\overrightarrow{w}$ es combinación lineal de otros tres $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{z}$ si podemos encontrar 3 números reales a, b y c tales que

$\overrightarrow{w}=a \cdot \overrightarrow{u}+ b \cdot \overrightarrow{v}+ c \cdot \overrightarrow{v}$

Actividad interactiva: Combinación lineal de vectores

Actividad 1: En la escena siguiente tienes el vector $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}$ . Se dice entonces que el vector $\overrightarrow{w}$ es combinación lineal de $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ .

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2: En la escena siguiente vas a expresar un vector como combinación lineal de otros dos.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 3: En la escena siguiente vas a ver como se construye un vector como combinación lineal de otros dos.

Actividad:[Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Vectores:_Definici%C3%B3n_y_operaciones_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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-Desliza el punto verde o el azul para ver cada uno de los dos métodos.
-Mueve los puntos azules de los vectores para cambiarlos.
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