Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)

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Revisión de 10:43 8 oct 2016

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Tabla de contenidos

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1 Vectores
2 Operaciones con vectores

Vectores

Vectores fijos

Un vector fijo es un segmento orientado que queda determinado por un punto origen, A y otro punto extremo, B. Lo simbolizamos $\overrightarrow{AB}$ .

Características de un vector:

El módulo del vector $\overrightarrow{AB}$ es la longitud del segmento $\overline{AB}$ , se representa por $|\overrightarrow{AB}|$ .
La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquiera de sus paralelas.
Cada dirección admite dos sentidos opuestos: el que va de A a B y el que va de B a A. Gráficamente se representa con una punta de flecha.

Vector nulo

El vector nulo es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos $\vec{0}$ .

Vectores opuestos

Dos vectores, $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , son opuestos si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos $\vec{u}=-\vec{v}$ .

Vectores opuestos: $\vec{u}=-\vec{v}$

Vectores equipolentes. Vectores libres

Dos vectores, $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos). Lo simbolizaremos $\vec{u}=\vec{v}$

Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como representante del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama vector libre. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: $\vec{u} \, , \vec{v} \, , ...$

Vectores equipolentes

$\vec{u}=\vec{v}=\vec{w}$

Actividad 1: Módulo, dirección y sentido de un vector fijo Descripción: [Mostrar]

Actividad 2: Vectores equipolentes Descripción: [Mostrar]

Actividad 3: Vectores libres Descripción: [Mostrar]

Operaciones con vectores

Producto de un vector por un número

El producto de un número real $k\,$ por un vector $\vec{v}$ es otro vector $k\vec{v}$ que tiene las siguientes características:

Módulo: $|k\vec{v}|=|k| \cdot |\vec{v}|$ ( $|k|\,$ es el valor absoluto del número real $k\,$ )
Dirección: la misma que $\vec{v}$ .
Sentido: el mismo que $\vec{v}$ si $k>0\,$ y opuesto si $k<0\,$ .

$\vec{v}=2 \vec{u} \qquad \vec{w}=- \frac{1}{2} \vec{u}$

Producto de un vector por un número Descripción: [Mostrar]

Suma y resta de vectores

Suma de vectores:

Dados dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , su suma es otro vector, $\vec{u} + \vec{v}$ , que tiene como origen el origen de $\vec{u}$ y por el extremo, el extremo de $\vec{v}$ .

Suma de vectores (2 métodos) Descripción: [Mostrar]

Resta de vectores:

Para restar dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , sumamos al vector $\vec{u}$ el opuesto de $\vec{v}$ . Es decir, $\vec{u} - \vec{v}=\vec{u} + (- \vec{v})$ .

Método del paralelogramo:

Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente.

Suma y resta de vectores Descripción: [Mostrar]

Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , otro vector $\vec{w}$ es combinación lineal de ellos si podemos encontrar dos números reales a y b tales que

$\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}$

En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector $\vec{w}$ es combinación lineal de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , siendo los coeficientes $a=3\,$ y $b=2\,$ .

La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, un vector $\vec{w}$ es combinación lineal de otros tres $\vec{u}$ , $\vec{v}$ y $\vec{z}$ si podemos encontrar 3 números reales a, b y c tales que

$\vec{w}=a \cdot \vec{u}+ b \cdot \vec{v}+ c \cdot \vec{v}$

Combinación lineal de vectores Descripción: [Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Vectores:_Definici%C3%B3n_y_operaciones_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 ===Vector nulo===
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-El '''vector nulo''' es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overrightarrow{0}</math>}}.
+El '''vector nulo''' es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{0}</math>}}.
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 ===Vectores opuestos===
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 ===Vectores equipolentes. Vectores libres===
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-Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como '''representante''' del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama '''vector libre'''. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u} \, , \overrightarrow{v} \, , ...</math>}}
+Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como '''representante''' del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama '''vector libre'''. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u} \, , \vec{v} \, , ...</math>}}
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 ===Producto de un vector por un número===
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+*'''Dirección:''' la misma que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}.
-*'''Sentido:''' el mismo que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} si <math>k>0\,</math> y opuesto si <math>k<0\,</math>.
+*'''Sentido:''' el mismo que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} si <math>k>0\,</math> y opuesto si <math>k<0\,</math>.
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 '''Suma de vectores:'''
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 '''Resta de vectores:'''
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 '''Método del paralelogramo:'''
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+{{Caja_Amarilla|texto=Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente.
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 ===Combinación lineal de vectores===
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+En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{w}</math>}} es combinación lineal de los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, siendo los coeficientes <math>a=3\,</math> y <math>b=2\,</math>.
-La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, un vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{w}</math>}} es combinación lineal de otros tres {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{u}</math>}}, {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{z}</math>}} si podemos encontrar 3 números reales '''a''', '''b''' y '''c''' tales que
+La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, un vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{w}</math>}} es combinación lineal de otros tres {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{u}</math>}}, {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{v}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\vec{z}</math>}} si podemos encontrar 3 números reales '''a''', '''b''' y '''c''' tales que
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