Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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Revisión de 16:28 10 oct 2016

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Tabla de contenidos

1 Sistema de referencia en el plano
2 Coordenadas del vector que une dos puntos
3 Vectores equipolentes
4 Condición para que tres puntos estén alineados
5 Punto medio de un segmento
6 Simétrico de un punto respecto de otro
7 Traslaciones y homotecias
8 Operaciones con vectores

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ , donde $O\,$ es un punto fijo, llamado origen, y $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto $P\,$ del plano tiene asociado un vector fijo $\overrightarrow{OP}$ , llamado vector de posición del punto $P\,$ .

Si el vector $\overrightarrow{OP}$ tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto de la base $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ , el punto $P\,$ diremos que tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto del sistema de referencia $\mathfrak{R}$ .

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia ortonormal, que es aquel en el que la base es ortonormal.

Sistema de referencia ortonormal

Vector de posición y coordenadas de un punto del plano Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtienen las coordenadas de un punto respecto de un sistema de referencia del plano a partir de su vector de posición.

Coordenadas del vector que une dos puntos

Coordenadas del vector que une dos puntos

Dados dos puntos del plano de coordenadas $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ , respecto de un sistema de referencia $\mathfrak{R}$ , entonces:

$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$

Demostración:

Partimos de que

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB} \quad \rightarrow \quad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

Por tanto,

$\overrightarrow{AB}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-y_2,x_1-y_1)$

Vector fijo asociado a un par ordenado de puntos del plano (15´47") Sinopsis:

Siendo $P = (x 0, y 0)$ y $Q = (x 1, y 1)$ puntos del plano, en este vídeo definimos el concepto de "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q). Visualizamos dicho vector fijo mediante una "flecha" que tiene origen en "P" y extremo en "Q". El vector fijo asociado al par (Q,P) se dice "opuesto" del asociado al par (P,Q). En términos matemáticos, el vector fijo asociado al par ordenado (P,Q) queda identificado mediante el par ordenado de números reales $(x 1 - x 0, y 1 - y 0)$ , que se obtiene al restar las coordenadas del punto "P" a las coordenadas del punto "Q". De dicho par $(x 1 - x 0, y 1 - y 0)$ se dice que son las coordenadas del vector fijo.

Ejercicio (19´59") Sinopsis:

Estudio del signo de las coordenadas de un vector $\vec{AB}$ según la posición del origen A y el extremo B del vector.

4 ejercicios (9´33") Sinopsis:

Siendo $P = (x 0, y 0)$ y $Q = (x 1, y 1)$ puntos del plano, las coordenadas del "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q) son $\vec{PQ} = (x_1 - x_0 ; y_1 - y_0)$ .

En este vídeo nos dan las coordenadas del vector fijo y las del punto "P" (punto "Q"), pidiéndonos que determinemos las coordenadas del punto "Q" (punto "P").

Autoevaluación: Coordenadas del vector que une dos puntos Descripción:

En esta escena podrás calcular las coordenadas del vector que une dos puntos del plano.

Vectores equipolentes

Proposición

Dos vectores son equipolentes si y sólo si tienen las mismas coordenadas.

Equipolencia de vectores fijos. Vector libre (14´37") Sinopsis:

Dos vectores fijos se dicen "equipolentes" si tienen el mismo módulo, dirección y sentido o, equivalentemente, si tienen las mismas coordenadas.

Si el vector fijo asociado al par (M,N) es equipolente al vector fijo asociado al par (S,T), los segmentos MT y NS tienen el mismo punto medio, y si los puntos "M", "N", "S" y "T" nos están alineados, el polígono cuyos vértices son esos puntos es un paralelogramo.

Se llama "vector libre" al CONJUNTO formado por un vector fijo y todos los equipolentes a él.

2 ejercicios (10´42") Sinopsis:

Conocidos 3 puntos del plano hallar un cuarto punto tal que forme con los otros tres un paralelogramo.

Coordenadas de vectores equipolentes Descripción:

En esta escena podrás ver como vectores equipolentes tienen las mismas coordenadas.

Condición para que tres puntos estén alineados

Condición para que tres puntos estén alineados

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si se cumple:

$\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$

Demostración:

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si los vectores $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ y $\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$ tienen la misma dirección.

Ahora, esto ocurre si los vectores son proporcionales: $\overrightarrow{AB}=\lambda \, \overrightarrow{BC}$

$(x_2-x_1,y_2-y_1)=\lambda \, (x_3-x_2,y_3-y_2) \rightarrow \begin{cases} x_2-x_1=\lambda \, (x_3-x_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2} \\ y_2-y_1=\lambda \, (y_3-y_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} \end{cases}$

Igualando ambas expresiones de $\lambda \,$ , se obtiene lo que buscamos.

Condición para que tres puntos estén alineados (20´52") Sinopsis:

Producto de un escalar por un vector
Propiedades
Vectores colineales
Condición para que tres puntos estén alineados

Punto medio de un segmento

Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio, $M\,$ , de un segmento de extremos $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ son:

$M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)$

Demostración:

Sea $M=(x_3,y_3)\,$ el punto medio del segmento $\overline{AB}$ . Tenemos que:

$\overrightarrow{AM}=\cfrac{1}{2} \, \overrightarrow{AB} \rightarrow (x_3-x_1, y_3-y_1)=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1, y_2-y_1) \rightarrow$

$\rightarrow \begin{cases} x_3-x_1=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1) \rightarrow 2(x_3-x_1)=x_2-x_1 \rightarrow x_3=\cfrac{x_1+x_2}{2} \\ y_3-y_1=\cfrac{1}{2} \, (y_2-y_1) \rightarrow 2(y_3-y_1)=y_2-y_1 \rightarrow y_3=\cfrac{y_1+y_2}{2} \end{cases}$

Con lo que obtenemos lo que buscabamos.

Punto medio de un segmento. (10´06") Sinopsis:

Obtención de la fórmula del punto medio de un segmento AB.

Ejercicio (Trisección de un segmento) (7´59") Sinopsis:

En este video aprendemos a determinar los puntos que dividen un segmento dado en tres partes iguales.

Simétrico de un punto respecto de otro

Para calcular el punto simétrico de un punto respecto de otro, utilizaremos la anterior fórmula del punto medio, tomando como datos los puntos A y M y como incógnita el punto B. Luego despejaremos de las ecuaciones resultantes las coordenadas del punto B.

También podemos hacer uso de la siguiente fórmula:

Simétrico de un punto respecto de otro

El punto simétrico de $A(x,y)\,$ respecto del punto $P(a,b)\,$ es:

$A'=(2a-x,2b-y)\,$ .

Demostración:

El punto $P(a,b)\,$ es el punto medio del segmento $\overline{AA'}$ . Aplicando la fórmula del punto medio:

$P=(a,b)=\Big( \cfrac{x+x'}{2}, \cfrac{y+y'}{2} \Big) \rightarrow \begin{cases} a=\cfrac{x+x'}{2} \rightarrow x'=2a-x \\ b=\cfrac{y+y'}{2} \rightarrow y'=2a-y \end{cases}$

Con lo que obtenemos lo que buscabamos.

Traslaciones y homotecias

Traslaciones (4´44") Sinopsis:

Siendo $\vec{u}$ un vector libre, llamamos traslación de vector $\vec{u}$ a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que las que las coordenadas del vector fijo $\vec{AA'}$ coinciden con las de $\vec{u}$ . Del punto A' se dice "trasladado" de A según la traslación de vector $\vec{u}$ . Obvio: si $u = (u 1, u 2)$ y $A = (a 1, a 2)$ , es A' = (a_1+u_1,u_2+u_2).

2 ejercicios (10´26") Sinopsis:

Siendo $\vec{u}$ un vector libre, llamamos traslación de vector $\vec{u}$ a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que las coordenadas del vector fijo $\vec{AA'}$ coinciden con las de $\vec{u}$ . Del punto A' se dice "trasladado" de A según la traslación de vector $\vec{u}$ . Obvio: si $\vec{u} = (u_1,u_2)$ y $A = (a 1, a 2)$ , es $A' = (a 1 + u 1, u 2 + u 2)$ .

Pueden jugar a darte $\vec{u}$ y A y pedirte A', o darte $\vec{u}$ y A' y pedirte A, o darte A y A' y pedirte $\vec{u}$ .

Suma de vectores como composición de traslaciones (24´12") Sinopsis:

Suma de vectores: método del paralelogramo.
Coordenadas del vector suma.
Propiedades de la suma de vectores.
Suma de vectores como composición de traslaciones.

Homotecias (6´23") Sinopsis:

Homotecia de razón k

Operaciones con vectores

6 ejercicios (17´13") Sinopsis:

En éste video jugamos con vectores colineales.

6 ejercicios (11'11") Sinopsis:

En este video jugamos con la suma de vectores y con el producto escalar de vectores.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Puntos_y_vectores_el_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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Sistema de referencia en el plano

Coordenadas del vector que une dos puntos

Vectores equipolentes

Condición para que tres puntos estén alineados

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