Ángulo entre dos rectas del plano (1ºBach)
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- | {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:Dadas dos rectas con vectores de dirección {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d}</math>}} y {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d'}</math>}}, y sea <math>\alpha \,</math> el ángulo que forman. Se verifica que | + | {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Dadas dos rectas con vectores de dirección {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d}</math>}} y {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d'}</math>}}, y sea <math>\alpha \,</math> el ángulo que forman. Se verifica que |
<center><math>cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}|}{|\overrightarrow{d}||\overrightarrow{d'}|}</math></center> | <center><math>cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}|}{|\overrightarrow{d}||\overrightarrow{d'}|}</math></center> |
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Ángulo entre dos rectas
El ángulo entre dos rectas del plano es el menor de los dos ángulos que forman éstas entre sí.
Ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección
Ejemplo: Ángulo entre dos rectas
Halla el ángulo que forman las siguientes rectas:
![r_1: \, \begin{cases} x=-3+ 4t \\ y=4- t \end{cases} \qquad r_2: \, \begin{cases} x=-3+ 5t \\ y=4+ t \end{cases}](/wikipedia/images/math/8/a/6/8a6767be64a62f73f1222533750728a6.png)
Solución:
Sus vectores de dirección son: y
, de manera que:
![cos \, \alpha=\cfrac{| \overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2}|}{|\overrightarrow{d_1}| \, |\overrightarrow{d_2}|}=\cfrac{19}{\sqrt{17} \, \sqrt{26}}=0.9 \rightarrow \alpha=25.34^\circ](/wikipedia/images/math/f/4/e/f4ea74fc28ee30503b8a4cc3c5c4d962.png)
Ángulo entre dos rectas dadas en forma implícita
Proposición
- Sean
y
dos rectas, y sea
el ángulo que forman. Se verifica que
![cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{n'}|}](/wikipedia/images/math/3/c/8/3c884f3a00fcf273ac749c04bdd05e81.png)
- donde
y
son los vectores normales de las rectas.
Demostración:
Cómo el vector normal a una recta es perpendicular al vector de dirección de la misma, hallar el ángulo entre las dos rectas equivale a hallar el ángulo entre los vectores normales o entre los vectores de dirección. Por tanto aplicaremos la misma fórmula que para hallar el ángulo a partir de los vectores de dirección, sustituyendo éstos por los vectores normales.
Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes
Proposición
- Dadas dos rectas con pendientes
y
. Se verifica que
![tg \, \phi = \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|](/wikipedia/images/math/2/9/9/299ab23f81aca7c8c22e7d36014d3b86.png)
Videotutoriales
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Ángulo entre dos rectas.
- Paralelismo y perpendicularidad.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial
Ejercicios: Ángulo entre dos rectas ![]() Videotutorial ![]() Videotutorial ![]() Videotutorial ![]() Videotutorial ![]() Videotutorial ![]() Videotutorial ![]() Videotutorial ![]() Videotutorial ![]() Videotutorial ![]() Videotutorial ![]() Videotutorial |