Lugares geométricos (1ºBach)
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==Mediatriz de un segmento== | ==Mediatriz de un segmento== | ||
{{Caja_Amarilla|texto= La '''mediatriz de un segmento''' <math>\overline{AB}</math>, es el lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math>, que equidistan de los extremos <math>A\,</math> y <math>B\,</math>. | {{Caja_Amarilla|texto= La '''mediatriz de un segmento''' <math>\overline{AB}</math>, es el lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math>, que equidistan de los extremos <math>A\,</math> y <math>B\,</math>. | ||
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<center><math>\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}</math></center> | <center><math>\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}</math></center> | ||
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|demo=Para hallar la ecuación de la mediatriz AB, siendo <math>A=(x_a,y_a)\;</math> y <math>B=(x_b,y_b)\;</math> tenemos que hallar la ecuación del lugar geométrico | |demo=Para hallar la ecuación de la mediatriz AB, siendo <math>A=(x_a,y_a)\;</math> y <math>B=(x_b,y_b)\;</math> tenemos que hallar la ecuación del lugar geométrico | ||
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<center><math>\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}</math></center> | <center><math>\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}</math></center> | ||
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Para ello escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos: | Para ello escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos: | ||
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Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación: | Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación: | ||
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- | Por tanto, la mediatriz del segmento AB es una recta. | + | Por tanto, la ecuación de la mediatriz del segmento AB es la ecuación de una recta. |
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Revisión de 11:17 16 oct 2016
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Lugar geométrico
Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.
Vamos a estudiar a continuación algunos lugares geométricos como la mediatriz de un segmento o la bisectriz de un ángulo. En cada caso buscaremos una ecuación que describa a dicho lugar geométrico.
Mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento , es el lugar geométrico de los puntos
, que equidistan de los extremos
y
.
![\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}](/wikipedia/images/math/d/6/c/d6cced240b3aab824f1196099f6d289b.png)
Proposición
La mediatriz de un segmento es una recta.
Para hallar la ecuación de la mediatriz AB, siendo y
tenemos que hallar la ecuación del lugar geométrico
![\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}](/wikipedia/images/math/d/6/c/d6cced240b3aab824f1196099f6d289b.png)
Para ello escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:
![d(P,A)=d(P,B) \;](/wikipedia/images/math/3/0/6/306beda063a7c63ad70b62bc8bf029a6.png)
![\sqrt{(x-x_a)^2+(y-y_a)^2}=\sqrt{(x-x_b)^2+(y-y_b)^2}](/wikipedia/images/math/0/e/5/0e5319ff5f195993a69764dcba7d805d.png)
Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación:
![2(x_b-x_a)x+2(y_b-y_a)y+(x_a^2+y_a^2-x_b^2-y_b^2)=0](/wikipedia/images/math/f/c/4/fc48d80096f22bba90eadb71800f2216.png)
Actividad interactiva: Mediatriz de un segmento
Actividad 1: En la siguiente escena hallaremos la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos
![]() ![]() Actividad: Para hallar la ecuación del lugar geométrico ![]() escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos: ![]() Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación: ![]() Por tanto, la mediatriz del segmento es una recta.
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Bisectriz de un ángulo
La bisectriz de un ángulo de lados y
, es el lugar geométrico de los puntos
, que equidistan de los lados
y
.
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Actividad interactiva: Bisectriz de un ángulo
Actividad 1: En la siguiente escena hallaremos la ecuación de la bisectriz del ángulo que forman las rectas
![]() ![]() Actividad: Para hallar la ecuación del lugar geométrico ![]() escribiremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta: ![]() De aquí salen dos ecuaciones, ya que si Así, las dos ecuaciones resultantes son: o bien Por tanto, dos rectas, al determinar dos ángulos, dan lugar a dos bisectrices, que son rectas perpendiculares. En la siguiente escena tienes representadas en rojo la segunda y en gris la primera.
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![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Las bisectrices de los ángulos determinados por dos rectas están formadas por los puntos que equidistan de ambas rectas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Determina la bisectriz del ángulo entre dos rectas dadas en ecuaciones generales.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Determinamos el "incentro" de un triángulo de vértices conocidos. Cae millones de veces todos los años en examen. No es admisible dejarlo escapar.