Plantilla:Definición de función

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Saltar a navegación, búsqueda

Revisión de 17:58 2 nov 2016

Concepto de función

Una función es una relación entre dos variables (por ejemplo, $x\;$ e $y\;$ ) que a cada valor de $x\;$ le asigna un único valor de $y\;$ .

La variable $x\;$ se llama variable independiente y la variable $y\;$ se llama variable dependiente, porque su valor depende de $x\;$ .

Se dice que $y\;$ es función de $x\;$ y lo representamos por $y = f(x)\;\!$ . También se dice que $y\;$ es la imagen de $x\;$ mediante la función $f\;$ .

Ejemplo:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

La relación entre el tiempo (t) que el grifo está abierto y el volumen (V) de agua que hay en el depósito es una función.

El volumen es función del tiempo: $V=f(t)\;$

La variable independiente (t) es el "tiempo que está abierto el grifo".
La variable dependiente (V) es el "volumen de agua que se ha llenado el depósito".

En los siguientes videos se explican los conceptos básicos sobre funciones que trataremos a lo largo de este tema.

Concepto de función

Tutorial 1 (27'16") Sinopsis:

Tutorial en el que se explican los conceptos básicos sobre funciones: variable independiente, dependiente, imagen, preimagen, dominio, recorrido... necesarios para poder comprender la terminología que se emplea en el análisis matemático.

Tutorial 2 (46'32") Sinopsis:

Definición de función.
Dominio e imagen (o rango).
Distintas formas de representar una función.
Ejercicios resueltos.

Formas de expresar una función

Hay varias formas de expresar una función:

Mediante un enunciado que explique la relación que existe entre las variables.
Mediante una ecuación que relacione las variables.
Mediante una tabla que contenga los valores de las variables, emparejados.
Mediante una gráfica, representada en unos ejes cartesianos con una escala adecuada. Sobre el eje horizontal (eje de abscisas) representamos la variable independiente $x$ , y sobre el eje vertical (eje de ordenadas) la variable dependiente $y\;$ . Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores $x\;$ e $y\;$ , que son sus coordenadas $(x,y)\;$ , su abcisa y su ordenada.

Veamos unos ejemplos:

Actividades: Formas de expresar una función

1. En la papelería de la esquina compramos bolígrafos a 0.30 € cada uno. Relaciona el número de bolígrafos comprados y el precio de la compra.

Actividad:

Las dos variables relacionadas son:

Variable independiente: x = número de boligrafos comprados.

Variable dependiente: y = precio de los bolígrafos comprados.

Vamos a ver las distintas formas de expresar la función que relaciona estas dos variables:

Mediante un enunciado:

"Relación que existe entre el número de bolígrafos que compramos y el precio de la compra, sabiendo que un bolígrafo cuesta 0.30 €."

Mediante una expresión algebraica:

Para calcular el precio de un número $x\;$ de bolígrafos, multiplicaremos la variable independiente $x\;$ por 0.30. El valor obtenido se le asigna a la variable dependiente $y\;$ .

$y=0.30 \cdot x$

Mediante una tabla:

En la siguiente tabla escribiremos algunos de los posibles valores que pueden tomar las dos variables:

bolígrafos	0	1	2	3	4	5	6	7
precio	0;	0.30	0.60	0.90	1.20	1.50	1.80	2.10

Esta tabla se llama tabla de valores.

Mediante una gráfica:

Para representar gráficamente una función utilizamos unos ejes cartesianos con una escala adecuada. En el eje horizontal representamos el número de bolígrafos que compramos. En el eje vertical representamos el precio de la compra. Para cada valor que le asignes al número de bolígrafos se marca en su vertical el precio de esos bolígrafos con un punto rojo.

En la parte inferior de la escena asígnale a la variable bolígrafos los valores de la tabla anterior y observa su precio, es decir, la altura donde se coloca el punto rojo.

Click aquí si no se ve bien la escena

a) ¿Cuáles son las escalas utilizadas en la gráfica?, es decir: ¿qué mide un cuadradito cualquiera del eje horizontal? y ¿qué mide un cuadradito cualquiera del eje vertical?

b) Fijándote en la gráfica, ¿cuánto cuestan 16 bolígrafos?. ¿Cuántos bolígrafos te dan por 3,60 €?

c) ¿Tiene sentido unir los puntos rojos de la gráfica? ¿Por qué?

d) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de esta función?

2. Vamos al mercado a comprar patatas. El precio de 1 kg es de 0.30 €. Relaciona el número de kilos de patatas adquiridos y su coste.

Actividad:

El siguiente ejemplo es muy similar al anterior. Queremos comprar patatas a 0,30 € el kilo. Podemos construir una tabla y una gráfica idénticas a las anteriores salvo que en el eje horizontal representamos los kilos de patatas.

Pero hay una importante diferencia entre ambos ejemplos: no podemos comprar fracciones de bolígrafos (1.5 o 2.7 bolígrafos) y en cambio sí podemos comprar fracciones de kilos de patatas (1.5 o 2.7 kilos de patatas).

a) Calcula y anota los precios de las siguientes cantidades de patatas. Asígnale esos valores a la variable kilos de la escena siguiente.

kilos de patatas	0	1	1,5	2	2,7	5	5,7	7
precio

b) ¿Tiene sentido ahora unir los puntos rojos de la gráfica?

Compuébalo en la escena asignándole a la variable kilos el valor 0 y a continuación, mantén pulsado el botón del ratón sobre la fecha superior de los kilos de patatas.

Click aquí si no se ve bien la escena

En el primer caso, la gráfica estaba formada por puntos aislados. En este segundo caso, la gráfica es una curva (en este caso, una recta) continua.

En la actividad anterior hemos podido ver que:

La variable independiente puede ser:

Discreta: Si entre dos valores de la variable hay solo un número finito de valores que puede tomar. Su gráfica está formada por puntos separados.
Continua: Si entre dos valores de la variable hay infinitos valores que puede tomar. Su gráfica está formada por trazos.

Actividad: Tablas

En la actividad anterior nos hemos encontrado la función y=0.30x:

a) Obtén la tabla para x=0 hasta x=7.

b) Dibuja la gráfica.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Table[0.3x,{x,0,7,1}]

b) Plot Table[0.3x,{x,0,7,1}]

Actividades Interactivas: Interpretación de gráficas

Actividad 1: Determina si son o no son funciones las siguientes gráficas.

Actividad:

Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos $x\;$ (variable independiente) e $y\;$ (variable dependiente); Se le llama variable dependiente porque su valor depende del valor de la otra que llamamos independiente.

Pero además, para que una relación sea función, a cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente, no le pueden corresponder dos o más valores.

a) Observa en la escena las gráficas y di cuál de ellas es función y por qué no lo es la otra.

Observa al mover el punto P cuántos puntos de corte tiene la recta azul con cada gráfica; si es más de uno no es una función.

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: Función cuya gráfica es una recta.

Actividad:

La siguiente escena representa una botella (en color rojo) que cuando abras el grifo se comenzará a llenar de agua. El proceso de llenado de la botella se puede describir matemáticamente con lo que llamamos función, así para un tiempo concreto la función nos dice la altura de la botella en ese momento. El dibujo que queda tras el punto A se llama gráfica de la función.

Click aquí si no se ve bien la escena

Haz clic en el botón y dejándolo pulsado observa cómo se llena la botella .

Observa que en el eje horizontal representamos el tiempo que dejamos el grifo abierto y en el vertical la altura que el agua alcanza en la botella. En el eje horizontal hemos empezado a marcar 1 segundo, 2 segundos, etc.

Observa en este ejemplo, que la altura es cero cuando el tiempo transcurrido es cero y que la gráfica va creciendo.

a) Observa las alturas que se alcanzan cuando han transcurrido 2, 4 y 6 segundos. Anótalas.

Si haces clic sobre un punto con el cursor te aparecerán los valores horizontal (tiempo) y vertical (altura) para ese punto.

b) ¿Qué puedes decir de la relación entre las variables tiempo y altura?

c) ¿Cuánto tiempo necesita la botella para llenarse hasta la mitad?

d) ¿Cuánto tiempo necesita la botella para llenarse un cuarto? ¿Y tres cuartos?

Actividad 3: Función cuya gráfica no es una recta.

Actividad:

En la siguiente escena la forma de la botella ha cambiado.

Click aquí si no se ve bien la escena

a) Intenta hacer la gráfica antes de ver como queda en la escena.

b) Observa las alturas que se alcanzan cuando han transcurrido 2, 4 y 6 segundos. Anótalas.

c) ¿Qué puedes decir de la relación entre las alturas y los tiempos?

d) Ahora la altura del agua según pasa el tiempo sube más despacio, ¿por qué?

Ahora prueba a cambiar la forma de la botella moviendo el punto P.

e) Haz una botella con la boca más estrecha que la base y observa las distintas gráficas que se generan. Da una explicación de lo qué ocurre.

f) Las gráficas unas veces son convexas (tipo U) y otras cóncavas (tipo U invertida), ¿de qué depende?

Video: El lenguaje de las gráficas (13´)

Sinopsis:

Las gráficas de contenido matemático se han convertido en el lenguaje más universal de finales del siglo XX. En cualquier medio de comunicación cada vez que se quiere dar información cuantitativa de un proceso aparece una gráfica matemática. Sus ventajas son incuestionables, son capaces de ofrecer gran cantidad de información de un simple vistazo. Constituyen un instrumento imprescindible en campos tan dispares como la medicina, la economía, la física, la biología y hasta en el deporte. En este programa investigaremos su origen relativamente reciente, tienen poco más de 200 años de existencia, y sus distintas aplicaciones y daremos algunos consejos para interpretar de forma crítica la información presentada en forma de gráficas.

Ejercicios

Ejercicio: Funciones y gráficas

1. La siguiente gráfica describe el vuelo de un águila desde que sale del nido hasta que vuelve a él con una presa que caza durante el trayecto.

a) ¿Cuáles son las variables relacionadas?

b) ¿Qué representa cada cuadrito en cada eje?

c) ¿A qué altura se encuentra el nido?

d) ¿Cuánto dura el vuelo y cuando caza a la presa?

e) ¿Qúe altura máxima alcanza el águila en su vuelo?. ¿Y la mínima?

f) ¿Qué ocurre entre el segundo 50 y 80?

Solución:

a) La variable dependiente es la altura (en metros) y la variable independiente es el tiempo (en segundos).

b) En el eje horizontal, cada cuadrito representa 10 s. En el vertical 10 m.

c) El nido está situado a una altura de 70 m.

d) El vuelo dura 3'20". Da caza a la presa 1'50" después de salir del nido.

e) La altura máxima es 92 m., aproximadamente. La mínima 0 m.

f) En ese intervalo la función es constante, lo que significa que el águila se mantiene volando a la misma altura.

2. Poner una anuncio por palabras cuesta una cantidad fija de 0.50 € y 0.05 € por cada palabra.

a) Haz una tabla de la función "número de palabras-precio".

b) Representa gráficamente los resultados del apartado a).

c) ¿Cómo es la variable independiente: continua o discreta?

d) Encuentra una fórmula que exprese esta función.

Solución:

a) Tabla de valores: (en céntimos)

x	0	1	2	3	4	5	6
y	50	55	60	65	70	75	80

b) Representación gráfica:

c) Discreta.

d) $y=5x+50 \quad$ (céntimos de €)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Definici%C3%B3n_de_funci%C3%B3n"

 * Mediante una '''ecuación''' que relacione las variables.
 * Mediante una '''tabla''' que contenga los valores de las variables, emparejados.
-* Mediante una '''gráfica''', representada en unos ejes cartesianos.
+* Mediante una '''gráfica''', representada en unos '''ejes cartesianos''' con una escala adecuada. Sobre el eje horizontal (eje de '''abscisas''') representamos la variable independiente <math>x</math>, y sobre el eje vertical (eje de '''ordenadas''') la variable dependiente <math>y\;</math>. Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores <math>x\;</math> e <math>y\;</math>, que son sus coordenadas <math>(x,y)\;</math>, su '''abcisa''' y su '''ordenada'''.
-**La variable independiente, <math>x\;</math>, la situamos en el eje horizonta ('''eje de abscisas''') y la variable dependiente, <math>y\;</math>, sobre el eje vertical (eje de ordenadas).
-**Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas: la abscisa, <math>x\;</math>, y la ordenada, <math>y\;</math>.
-**Los ejes deben estar graduados, en escala.
 }}
 {{p}}
 Veamos unos ejemplos:
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Formas de expresar una función''|cuerpo=
+{{AI2|titulo=Actividades: ''Formas de expresar una función''|cuerpo=
 {{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' La relación entre el número de bolígrafos que compremos en una papelería y su precio, sabiendo que un bolígrafo cuesta 0.30 €.
+|enunciado='''1.''' En la papelería de la esquina compramos bolígrafos a 0.30 € cada uno. Relaciona el número de bolígrafos comprados y el precio de la compra.
 |actividad=
-{{p}}
+Las dos '''variables relacionadas''' son:
+:Variable independiente: x = número de boligrafos comprados.
+:Variable dependiente: y = precio de los bolígrafos comprados.
+Vamos a ver las distintas formas de expresar la función que relaciona estas dos variables:
 * '''Mediante un enunciado:'''
-La relación entre el número de bolígrafos que compremos en una papelería y su precio, sabiendo que un bolígrafo cuesta 0.30 €.
+:"Relación que existe entre el número de bolígrafos que compramos y el precio de la compra, sabiendo que un bolígrafo cuesta 0.30 €."
 *''' Mediante una expresión algebraica:'''
-Para calcular el precio de un número <math>x\;</math> de bolígrafos, multiplicaremos la variable independiente <math>x\;</math> por 0,30. El valor obtenido se le asigna a la variable dependiente <math>y\;</math>.
+:Para calcular el precio de un número <math>x\;</math> de bolígrafos, multiplicaremos la variable independiente <math>x\;</math> por 0.30. El valor obtenido se le asigna a la variable dependiente <math>y\;</math>.
 <center><math>y=0.30 \cdot x</math></center>
 *''' Mediante una tabla:'''
+En la siguiente tabla escribiremos algunos de los posibles valores que pueden tomar las dos variables:
 <table border="1" width="100%">
     <tr>
 *''' Mediante una gráfica:'''
-Para representar gráficamente una función utilizamos unos '''ejes cartesianos''' con una escala adecuada. Sobre el eje horizontal (eje de '''abscisas''') representamos la variable independiente <math>x</math>, y sobre el eje vertical (eje de '''ordenadas''') la variable dependiente <math>y\;</math>. Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores <math>x\;</math> e <math>y\;</math>, que son sus coordenadas <math>(x,y)\;</math>, su abcisa y su ordenada.
+:Para representar gráficamente una función utilizamos unos '''ejes cartesianos''' con una escala adecuada. En el eje horizontal representamos el número de bolígrafos que compramos. En el eje vertical representamos el precio de la compra. Para cada valor que le asignes al número de bolígrafos se marca en su vertical el precio de esos bolígrafos con un punto rojo.
-En la escena siguiente hemos dibujado unos ejes coordenados. En el eje horizontal representamos el número de bolígrafos que compramos. En el eje vertical representamos el precio de la compra. Para cada valor que le asignes al número de bolígrafos se marca en su vertical el precio de esos bolígrafos con un punto rojo.
 En la parte inferior de la escena asígnale a la variable bolígrafos los valores de la tabla anterior y observa su precio, es decir, la altura donde se coloca el punto rojo.
 <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-b) ¿Qué mide un cuadradito cualquiera del eje horizontal?
+a) ¿Cuáles son las escalas utilizadas en la gráfica?, es decir: ¿qué mide un cuadradito cualquiera del eje horizontal? y ¿qué mide un cuadradito cualquiera del eje vertical?
-c) ¿Qué mide un cuadradito cualquiera del eje vertical?
+b) Fijándote en la gráfica, ¿cuánto cuestan 16 bolígrafos?. ¿Cuántos bolígrafos te dan por 3,60 €?
-d) Fijándote en la gráfica, ¿cuánto cuestan 16 bolígrafos? ¿Cuántos bolígrafos te dan por 3,60 €?
+c) ¿Tiene sentido unir los puntos rojos de la gráfica? ¿Por qué?
-e) ¿Tiene sentido unir los puntos rojos de la gráfica? ¿Por qué?
+d) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de esta función?
 }}
 {{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 2:''' Un caso en el que la variable independiente es continua.
+|enunciado='''2.''' Vamos al mercado a comprar patatas. El precio de 1 kg es de 0.30 €. Relaciona el número de kilos de patatas adquiridos y su coste.
 |actividad=
 El siguiente ejemplo es muy similar al anterior. Queremos comprar patatas a 0,30 € el kilo. Podemos construir una tabla y una gráfica idénticas a las anteriores salvo que en el eje horizontal representamos los kilos de patatas.
-Pero hay una importante diferencia entre ambos ejemplos: no podemos comprar fracciones de bolígrafos (1,5 o 2,7 bolígrafos) y en cambio sí podemos comprar fracciones de kilos de patatas (1,5 o 2,7 kilos de patatas).
+Pero hay una importante diferencia entre ambos ejemplos: no podemos comprar fracciones de bolígrafos (1.5 o 2.7 bolígrafos) y en cambio sí podemos comprar fracciones de kilos de patatas (1.5 o 2.7 kilos de patatas).
 a) Calcula y anota los precios de las siguientes cantidades de patatas. Asígnale esos valores a la variable kilos de la escena siguiente.
 {{p}}
 {{Caja_Amarilla|texto= La variable independiente puede ser:
-*'''Discreta:''' Si los valores que toma van dando saltos. Su gráfica está formada por puntos separados. Por ejemplo, la variable "número de boligrafos que compramos en una papelería".
+*'''Discreta:''' Si entre dos valores de la variable hay solo un número finito de valores que puede tomar. Su gráfica está formada por puntos separados.
-*'''Continua:''' Si los valores que toma no dan saltos. Su gráfica está formada por trazos. Por ejemplo, la variable "peso de una persona".
+*'''Continua:''' Si entre dos valores de la variable hay infinitos valores que puede tomar. Su gráfica está formada por trazos.
 }}
 {{p}}

Plantilla:Definición de función

De Wikipedia

Revisión de 17:58 2 nov 2016

Concepto de función

Formas de expresar una función

Ejercicios

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas