Plantilla:Suma de términos de una progresión geométrica
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Si al comienzo de cada año ingresamos 1000 € en un banco al 4% anual, ¿cuánto dinero tendremos al final del quinto año? | Si al comienzo de cada año ingresamos 1000 € en un banco al 4% anual, ¿cuánto dinero tendremos al final del quinto año? | ||
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Al comenzar el primer año ingreso 1000 €, que se transforman en <math>1000 \cdot 1.04^5</math> al final del quinto año. | Al comenzar el primer año ingreso 1000 €, que se transforman en <math>1000 \cdot 1.04^5</math> al final del quinto año. | ||
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Revisión de 18:39 25 nov 2016
Suma de términos de una progresión geométrica
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
![S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}](/wikipedia/images/math/f/6/b/f6bee972752d52c33759bd3880051a7d.png)
Efectuamos la siguiente resta:
- ______________________________________________________________________________
por tanto:
![S_n(r-1)=a_n r-a_1\;](/wikipedia/images/math/0/7/9/079ca399d5f05beecf41ad4e6e792444.png)
y despejando
![S_n=\cfrac{(a_n \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^n - a_1)}{r-1}](/wikipedia/images/math/b/e/2/be2a9c31a9b8db2573a10d643154e146.png)
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Ejemplos y demostración la fórmula de la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Ejercicio resuelto: Suma de términos de una progresión geométrica
Si al comienzo de cada año ingresamos 1000 € en un banco al 4% anual, ¿cuánto dinero tendremos al final del quinto año?
Se trata de un problema típico de aritmética comercial de anualidades de capitalización:
Al comenzar el primer año ingreso 1000 €, que se transforman en al final del quinto año.
Al comenzar el segundo año ingreso 1000 €, que se transforman en al final del quinto año.
Al comenzar el tercer año ingreso 1000 €, que se transforman en al final del quinto año.
Al comenzar el cuarto año ingreso 1000 €, que se transforman en al final del quinto año.
Al comenzar el quinto año ingreso 1000 €, que se transforman en al final del quinto año.
Si sumamos todas esas cantidades:
![1000 \cdot 1.04^1 + 1000 \cdot 1.04^2 + 1000 \cdot 1.04^3 + 1000 \cdot 1.04^4 + 1000 \cdot 1.04^5](/wikipedia/images/math/e/a/3/ea346b8ef789fe90ea8f60150fc19f82.png)
estaremos sumando los cinco primeros términos de una progresión geométrica con y
![S_5 = \cfrac{a_1 \cdot (r^5 - 1)}{r-1} = \cfrac{1000 \cdot 1.04 \cdot (1.04^5 - 1)}{1.04 -1} = 5632.98](/wikipedia/images/math/a/9/4/a947778348526c6e1e5ea81ab7d69057.png)
Suma los n primeros términos de progresión geométrica dada.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
Anualidades de capitalización son cantidades fijas que se entregan al principio de cada año para su colocación a interés compuesto con objeto de llegar a constituir un capital al cabo de un determinado número de años.