Plantilla:Idea intuitiva de continuidad (1ºBach)

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Idea intuitiva de continuidad

En este apartado pretendemos hacer una acercamiento al concepto de continuidad de una forma intuitiva, sin profundizar y sin usar el concepto de límite, el cual estudiaremos más adelante.

Una función entenderemos que es continua si podemos dibujar su gráfica de un solo trazo. Si en algún punto "se rompe" diremos que presenta una discontinuidad en dicho punto.

La continuidad en términos geométricos (7'15") Sinopsis:

Introducción al concepto de continuidad de forma intuitiva. Ejemplo gráfico de discontinuidades.

Propiedad

Las funciones definidas por expresiones analíticas elementales son continuas en todos los puntos de su dominio de definición.

Ejemplos:

a) $f(x)=x^2-3x+1 \;\!$ es continua en todos los puntos de su dominio: $D_f=\mathbb{R}$ .

b) $f(x)=\cfrac{x+2}{x+5} \;\!$ es continua en su dominio: $D_f=\mathbb{R}- \lbrace 5 \rbrace$ .

Discontinuidades

Basicamente, nos podemos encontrar los siguientes tipos de discontinuidades en un punto $x=a\;$ :

$Discontinuidad \begin{cases} \begin{matrix} No \ evitable \\ (o \ esencial) \end{matrix} \begin{cases} De \ primera \ especie \begin{cases} De \ salto \ finito \\ De \ salto \ infinito \\ Asint\acute{o}tica \end{cases} \\ De \ segunda \ especie \end{cases} \\ \ \ Evitable \end{cases}$

Discontinuidad de salto infinito. En este caso la curva tiene alguna "rama infinita" en el punto $x=a\;$ . Decimos que la curva presenta una asíntota vertical en el punto $x=a\;$ .

Discontinuidad de salto finito: La función da un salto al llegar a $x=a\;$ . En la gráfica adjunta el valor del salto es la diferencia $y_1-y_2\;$ .

Discontinuidad evitable (ausencia de punto): La función no está definida en el punto $x=a\;$ o bien el punto está desplazado.

Discontinuidad evitable (punto desplazado): La función no está definida en el punto $x=a\;$ o bien el punto está desplazado.

Hay otro tipo de discontinuidad, denominada discontinuidad esencial, de la que ya hablaremos cuando veamos el concepto de límite. Entonces formalizaremos el concepto de discontinuidad que aquí hemos visto de forma tan superficial.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Idea_intuitiva_de_continuidad_%281%C2%BABach%29"

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         \end{cases}
     \\
-    \quad Evitable
+    \ \ Evitable
     \end{cases}