Plantilla:Cálculo del límite de una función (1ºBach)

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 10:56 17 dic 2016

Tabla de contenidos

1 Límite en un punto en el que la función es continua
- 1.1 Ejercicios propuestos
2 Límite de funciones a trozos
3 Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador
4 Límite de cociente de funciones polinómicas
5 Paso al límite

Límite en un punto en el que la función es continua

El cálculo de límites de una función en un punto puede ser muy fácil o muy difícil, según los casos. El caso más fácil es cuando la función es continua en dicho punto. En efecto:

Proposición

Si $f(x)\;$ es continua en el punto $x=c\;$ , entonces

$\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$

Demostración:

Es inmediato, por la propia definición de función continua en un punto.

Ejemplo: Cálculo del límite en un punto en el que la función es continua

Calcula:

$\lim_{x \to 3} \cfrac{x-2}{x-5}$

Solución:

$D_f= \mathbb{R}-\{5\}$ y sabemos que la función es continua en su dominio por ser una función elemental (cociente de funciones polinómicas).

Como $3 \in D_f$ , entonces $f\;$ es continua en 3 y, por tanto:

$\lim_{x \to 3} f(x)=f(3)=\cfrac{3-2}{3-5}=-\cfrac{1}{2}$

Cálculo del límite de una función en un punto (7'23") Sinopsis:

Problema típico: te dan la función "f" y te piden que, si existe, calcules su límite en el punto "c".

Límites inofensivos: si para calcular f(c) no se viola ninguna Regla Sagrada, la función "f" tiene límite en "c" y coincide con f(c); o sea, existen los dos límites laterales de "f" en "c" y coinciden con f(c).
Límites peligrosos: si para calcular f(c) se viola ninguna Regla Sagrada, el cálculo del límite de "f" en "c" puede ser muy complicado, y no hay ninguna receta mágica que resuelva el problema en todos los casos.

Paso al límite (6'37") Sinopsis:

La operación lógica que llamamos paso al límite (PL) se reduce a conjugar la tercera persona del singular del presente de indicativo del verbo tender.

Recuerda: al escribir x → c (se lee "x" tiende a "c") queremos decir que "x" (o sea, tú) se aproxima a "c" indistintamente por la izquierda o por la derecha.

Ejemplos: Cálculo del límite en un punto en el que la función es continua

1. Ejemplos (8'03") Sinopsis:

Cálculo de $\lim_{x \to 7} \, 4x+2$

2. Ejemplos (5'15") Sinopsis:

Cálculo de $\lim_{x \to 3} \, 6^{\frac{x+2}{x-2}}$

3. Ejemplos (8'05") Sinopsis:

Cálculo de $\lim_{x \to 1} \, \sqrt{5-x}$

4. Ejemplos (3'55") Sinopsis:

Cálculo de $\lim_{x \to -5} \, ln \, (1-x)$

5. Ejemplos (11'19") Sinopsis:

Cálculo de $\lim_{x \to 4} \, sen \, \cfrac{1}{x}$
Cálculo de $\lim_{x \to 0} \, |1-x^2|$
Cálculo de $\lim_{x \to 2} \, \cfrac{x^2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot ln \, (1+x^3)}{1+tg^2(x-2)}$

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Límite en un punto en el que la función es continua

(Pág. 278)

Límite de funciones a trozos

Ejemplos: Estudio de la continuidad de una función definida a trozos

1. Ejemplos (9'41") Sinopsis:

2 ejemplos del estudio de la continuidad de una función definida a trozos con parámetros.

2. Ejercicio de una una prueba de acceso a la Universidad (7'49") Sinopsis:

Estudio de la continuidad de una función definida a trozos con parámetros.

Solución:

{{{sol}}}

Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador

Límite de cociente de funciones polinómicas

Paso al límite

Paso al límite (6'37") Sinopsis:

El paso al límite como método para calcular límites más complicados

Ejemplos: Paso al límite

1. Ejemplos (13'07") Sinopsis:

Algunos ejemplos de casos sencillos de aplicación de paso al límite.

2. Ejemplos (9'50") Sinopsis:

Cálculo de límites en una función definida a trozos.

Operaciones con límites () Sinopsis: