Plantilla:Cálculo de límites en el infinito (1ºBach)
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|titulo1=Límite de una función racional en el infinito | |titulo1=Límite de una función racional en el infinito |
Revisión de 11:24 18 dic 2016
Tabla de contenidos |
Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito
- Decimos que "
tiende a + infinito" (
) cuando
toma valores positivos tan grandes como queramos.
- Decimos que "
tiende a - infinito" (
) cuando
toma valores negativos tan pequeños como queramos.
Nota: A veces te podrás encontrar también la expresión " tiende a infinito" (
) cuando
tiende, indistintamente, a + infinito o a - infinito. Nosotros intentaremos evitarlo para no crear confusión aunque eso nos suponga tener que escribir más.
Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a (o a
) son los siguientes:
si cuando
, los valores de
se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
si cuando
, los valores de
se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
si cuando
, los valores de
se hacen tan proximos a
como se quiera.
- En este caso se dice que la recta
es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.
En estas tres definiciones se puede cambiar por
para obtener otras tres definiciones análogas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
En este vídeo hablamos del límite de la función "f" cuando x → +∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞. También hablamos del límite de "f" cuando x → -∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞.
Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito
Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en y
, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.
- a)
b)
c)
d)
e)
- a)
(La recta y=0 es una A.H. por
)
-
(La recta y=0 es una A.H. por
)
- b)
-
- c)
-
(La recta y=0 es una A.H. por
)
- d)
-
- e)
-
Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito |
Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito
Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).
Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito
Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito
Proposición
Sea una función racional en la variable x.
Se cumple que:
(lo mismo si
)
Tras simplificar esa fracción, se pueden dar los siguientes casos:
- grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser
ó
.
- grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante,
, que es el valor del límite.
- grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
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Ejemplos: Límite de una función racional en el infinito
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
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Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Cálculo de límites cuando x tiende a (+/-) infinito |