Plantilla:Teorema del resto
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| 1) Halla el resto de la división del polinomio <math>x^3+x^2+x-1\;</math> entre <math>x-2\;</math>, <math>x+2\;</math>, <math>x-0\;</math> y <math>3-x\;</math>. | 1) Halla el resto de la división del polinomio <math>x^3+x^2+x-1\;</math> entre <math>x-2\;</math>, <math>x+2\;</math>, <math>x-0\;</math> y <math>3-x\;</math>. | ||
| - | 2) Determina el valor de k para que | + | 2) Determina el valor de k para que el polinomio <math>Q(x)=kx^3+(2k-1)x^2+x-k\;</math> sea divisible por <math>x-2\;</math>. |
| - | 3) | + | 3) Sea <math>T(x)=4x^3-2kx^2+k^2 x-k\;</math>. Halla el valor de k para que el resto de la división de <math>T(x)\;</math> entre <math>x-1\;</math> sea igual a 2. |
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Revisión de 20:46 20 may 2017
Teorema del Resto
El valor que toma un polinomio, 
, cuando hacemos 
, coincide con el resto de la división de entre 
. Es decir, 
, donde 
es el resto de dicha división.
Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que:
donde 
es el dividendo, 
el divisor, 
el cociente y 
el resto y verificándose además, que el grado de es menor que el grado de .
En efecto, si tomamos el divisor 
, entonces tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar 
, y la fórmula anterior se convierte en:
Tomando el valor 
se obtiene que:
Ejemplo: Teorema del Resto
Calcula el resto de dividir el polinomio 
entre 
Bastará calcular 
Teorema del resto (8´) Sinopsis: Si P(x) es un polinomio de grado no inferior a 1, el resto de la división P(x)/(x-a) es el número P(a) que se obtiene al sustituir "x" por "a" en P(x). La división P(x)/(x-a) es "exacta" si P(a) = 0; y en tal caso se dice que "a" es un "cero" o "raíz" del polinomio P(x), o una solución de la ecuación P(x) = 0.
Teorema del resto (más general) (12´46") Sinopsis:- Teorema del resto para la división de un polinomio entre un binomio del tipo ax+b.
- Como ejemplo, también resolveremos los siguientes ejercicios:
- 1) Halla el resto de dividir el polinomio
entre el binomio 
.
- 2) Halla el resto de dividir el polinomio
entre el binomio 
.
Ejercicio 1 (3'33") Sinopsis: Halla el resto de la división del polinomio 
entre 
.
Ejercicio 2 (7'08") Sinopsis: Halla el valor de 
para que la división del polinomio 
entre sea exacta.
Ejercicios 3 (11´) Sinopsis: 1) Halla el resto de la división del polinomio 
entre , , 
y 
.
2) Determina el valor de k para que el polinomio 
sea divisible por .
3) Sea 
. Halla el valor de k para que el resto de la división de 
entre 
sea igual a 2.
