Plantilla:Radicales (ampliación)

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Revisión de 06:40 22 may 2017

Tabla de contenidos

1 Extracción e introducción de factores en un radical
- 1.1 Extracción de factores
- 1.2 Introducción de factores
2 Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando
3 Producto y cocientes de radicales de distinto índice
4 Actividades

Extracción e introducción de factores en un radical

Extracción de factores

Procedimiento

Para extraer factores de un radical se divide el exponente (m) del factor entre el índice (n) del radical. A continuación, se saca el factor elevado al cociente (c) de la división, quedando dentro del radical el factor elevado al resto (r).

$\sqrt[n]{a^m}= a^c \cdot \sqrt[n]{a^r}$

Demostración:

Para la demostración transformaremos la expresión radical en potencias y aplicaremos las propiedades de las operaciones con potencias:

$\sqrt[n]{a^m}= a^{\frac{m}{n}} \begin{matrix} ~_{(1)}~ \\ = \\ \, \end{matrix} a^{c+\frac{r}{n}}= a^c \cdot a^{\frac{r}{n}}= a^c \cdot \sqrt[n]{a^r}$

Fíjate que en (1) hemos usado la regla de la divsión:

$m=n \cdot c + r \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= \cfrac{n \cdot c + r}{n} \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= \cfrac{n \cdot c}{n} + \cfrac{r}{n} \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= c + \cfrac{r}{n}$

Para extraer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

Ejemplo: Extracción de factores de un radical

Extrae todo lo que se pueda de este radical: $\sqrt[3]{6000}$

Solución:

$\sqrt[3]{6000}=\sqrt[3]{2^4 \cdot 3 \cdot 5^3}=2 \cdot 5 \sqrt[3]{2 \cdot 3}=10\sqrt[3]{6}$

Mas ejemplos:

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Extracción de factores de un radical

Ejercicio 1 (3'40") Sinopsis:

Simplifica: $-2\sqrt [3]{16x^5yz^9}$

Ejercicio 2 (4'12") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt [4]{32x^4y^{21}z^{43}}$

Ejercicio 3 (2'54") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt [5]{32x^5y^{-10}z^{-35}}$

Ejercicio 4 (2'03") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt [5]{-243a^{20}}$

Introducción de factores

Procedimiento

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical.

$a \sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}$

Demostración:

Para la demostración transformaremos la expresión radical en potencias y aplicaremos las propiedades de las operaciones con potencias:

$a \sqrt[n]{b}=a \cdot b^{\frac{1}{n}}=(a^n)^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}= (a^n \cdot b)^{\frac{1}{n}}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}$

Ejemplo: Introducción de factores en un radical

Introduce los factores dentro del radical: $10 \sqrt[3]{6}$

Solución:

$10 \sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{6 \cdot 10^3}=\sqrt[3]{6000}$

Más ejemplos:

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Introducción de factores en un radical

Ejercicio 1 (2'23") Sinopsis:

Introduce dentro del radical: $3 \sqrt{5}$

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando.

Ejercicio 2 (1'42") Sinopsis:

Introduce los factores dentro del radical: $a^3 b^2 \sqrt[4]{c}$

Ejercicio 3 (3'06") Sinopsis:

Introduce los factores dentro del radical: $m^2 n^5 \sqrt[5]{m^3 p^2}$

Introducción y extracción de factores de un radical Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Ejercicios: Extracción e introducción de factores en un radical (7'27") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt[3]{5^{17} \cdot 4^6}$

b) $\sqrt[3]{16\, a^4\, b^{21}}$

c) $7^3 \cdot 6^9 \sqrt[11]{y^3}$

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando.

Ejemplo: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Resta los siguientes radicales: $\sqrt{48}-\sqrt{75}$

Solución:

$\sqrt{48}-\sqrt{75}=\sqrt{2^4 \cdot 3}-\sqrt{5^2 \cdot 3}= 2^2\sqrt{3}-5\sqrt{3}=-\sqrt{3}$

Más ejemplos:

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Ejercicio 1: Suma y resta de radicales con el mismo índice (3'38") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{2}-\sqrt{8}$

Ejercicio 2: Suma y resta de radicales con el mismo índice (6'11") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt{32}+\sqrt{243}-\sqrt{12}-\sqrt{48}-\sqrt{27}$

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Actividad: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Simplifica $\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{243}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

simplify 4th root (3) - 4th root (243)

Suma y resta radicales con el mismo índice y distinto radicando Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

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Ejercicios: Suma, resta y simplificación de radicales Descripción:

En esta escena podrás practicar la suma y resta de radicales con o sin el mismo índice.

Producto y cocientes de radicales de distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, primero se reducen a índice común y luego se multiplican o dividen los radicandos.

Ejemplo: Producto y cocientes de radicales de distinto índice

Reduce a un solo radical $\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}$

Solución:

Para reducir los radicales a índice común calculamos el m.c.m de los índices: m.c.m.(3,4,2)=12 y elevamos cada radicando al resultado de dividir el m.c.m. por el índice de cada radical.

$\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}=\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}$

Luego multiplicamos o dividimos los radicandos, ya que ahora los índices son iguales:

$\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}=\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}$

Finalmente simplificamos:

$\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}=\sqrt[12]{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^3 : (2^3)^6}=\sqrt[12]{2^{-14} \cdot 5^7}$

Ejercicio 1: Producto de radicales con distinto índice (4'43") Sinopsis:

Simplifica: $(8\sqrt[3]{a^2b}) \cdot (4\sqrt{ab^3})$

Ejercicio 2: Cociente de radicales con distinto índice (3'50") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt[3]{27^{-2}} : \sqrt[4]{16}$

Actividades

Operaciones con radicales

Ejercicios 1 (10'09") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt{8^{20}}:\sqrt{8^{14}}$

b) $\sqrt[6]{\sqrt{8}}$

c) $\sqrt[9]{12} \cdot \sqrt{3}$

Ejercicio 2 (6'06") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{\sqrt{27}+\sqrt{75}}{\sqrt{48}}$

Ejercicio 3 (4'34") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt [4]{\sqrt{x^3} \cdot 16 \sqrt{x}}$

Ejercicio 4 (2'57") Sinopsis:

Simplifica: $\left(\cfrac{\sqrt [6]{32}}{\sqrt{8}} \right)^3$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Radicales_%28ampliaci%C3%B3n%29"

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Plantilla:Radicales (ampliación)

De Wikipedia

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Tabla de contenidos

Extracción e introducción de factores en un radical

Extracción de factores

Introducción de factores

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Producto y cocientes de radicales de distinto índice

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