Límite de una sucesión (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Representación gráfica de una sucesión
- 1.1 Ejercicios propuestos
2 Concepto de límite de una sucesión
- 2.1 Sucesiones oscilantes
- 2.2 Sucesiones alternadas
3 Ejercicios
- 3.1 Ejercicios propuestos
4 Actividades y videotutoriales

Para acercarnos a la idea de límite, vamos a empezar viendo algunas representaciones gráficas de sucesiones.

(pág. 61)

Representación gráfica de una sucesión

Para representar gráficamente una sucesión $a_n\;$ , construiremos una tabla donde anotaremos el valor de $a_n\;$ para distintos valores de n.

Las parejas $(n,a_n),\ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$ obtenidas en la tabla, son las coordenadas de los puntos de la representación gráfica de la sucesión, que dibujaremos en unos ejes de coordenadas cartesianos.

Ejercicios resueltos: Representación gráfica y límite de una sucesión

Representa graficamente las siguientes sucesiones:

a) $a_{n} = \cfrac{5n}{n+3}$

b) $a_{n} = \cfrac{n^2}{5}-4n\;$

Solución:[Mostrar]

Observa que, en ambos ejemplos, los valores obtenidos cuando n es pequeño, no son representativos del valor del límite. Por tanto, el valor del límite debe deducirse tomando valores de n suficientemente grandes.

Representación gráfica y límite de una sucesión [Mostrar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Representación gráfica y límite de una sucesión

(Pág. 61)

1, 2, 3

(pág. 62)

Concepto de límite de una sucesión

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ podemos conseguir que se aproximen a un número $l \in \mathbb{R}$ , tanto como queramos (a menos de una distancia $\varepsilon \;$ tan pequeña como deseemos) al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a $l\;$ o que su límite es $l\;$ . Diremos que la sucesión es convergente. Lo escribiremos simbólicamente:

$lim \ a_n = l \ \Leftrightarrow \ \forall \, \varepsilon > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ |a_n -l|<\varepsilon$

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ superan a cualquier número "k" tan grande como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a $+\infty \;$ o que su límite es $+\infty \;$ . Diremos que la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

$lim \ a_n = +\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n> k$

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ toman valores inferiores a cualquier número "k" negativo tan pequeño como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a $-\infty \;$ o que su límite es $-\infty \;$ . Diremos que la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

$lim \ a_n = -\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k < 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n< k$

Límite de una sucesión [Mostrar]

Concepto de límite de una sucesión Descripción: [Mostrar]

Teorema

Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente. Mas concretamente:

Una sucesión de números reales creciente y acotada superiormente es convergente.
Una sucesión de números reales decreciente y acotada inferiormente es convergente.

Demostración:[Mostrar]

(pág. 63)

Sucesiones oscilantes

Una sucesión diremos que es oscilante si no es convergente ni divergente, es decir, son sucesiones que no tienen límite (ni finito, ni infinito)

Ejemplos: [Mostrar]

Ejemplo: Sucesión oscilante

La siguiente sucesión no tiene límite

$a_n=(-1)^{n+1} \cdot n$

Solución:[Mostrar]

Sucesiones alternadas

Una sucesión diremos que es alternada si sus términos van alternando en signo

Ejemplos: [Mostrar]

(Pág. 63)

Ejercicios

Ejercicios resueltos: Límite de una sucesión

1. Estudiar el comportamiento de las siguientes sucesiones para valores de n avanzados e indicar su límite:

a) $a_n=3+\frac{10}{n}$

b) $b_n=\frac{n^2-n}{2}$

2. Comprobar si las siguientes sucesiones tienen límite:

a) $a_n=(-3)^n \;$

b) $c_n=\frac{(-1)^n}{n}$

Solución:[Mostrar]

Ejercicio: Límite de una sucesión

1. Representa gráficamente las siguientes sucesiones e indica si tienen o no límite, calculándolo en su caso:

a) $a_n=n^2\;$

b) $b_n=\cfrac{7n}{n+1}$

c) $c_n=\cfrac{n^2-6n-1}{5n+1}$

d) $d_n=(-1)^n \cdot (2n+1)$

e) $e_n=\cfrac{n^2-2}{2n^2+1}$

f) $f_n=\cfrac{n^3-15n^2+25}{2n^2-1}$

g) $g_n=\cfrac{90n+90}{n^2}$

h) $h_n=\sqrt{4n+5}$

i) $i_n= \begin{cases} 2, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 4, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}$

j) $j_n=\cfrac{(-1)^n \cdot (n+5)}{n^2}$

Solución:[Mostrar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Límite de una sucesión

(Pág. 63)

4, 5

Actividades y videotutoriales

Sucesiones y límites [Mostrar]

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Categorías: Matemáticas | Números

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