Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Razones trigonométricas de un ángulo agudo
- 1.1 Razones trigonométricas inversas
2 Relaciones fundamentales de la trigonometría
3 Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes
4 Ejercicios

La trigonometría es una rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Su significado etimológico es la medición de los triángulos, ya que deriva de los términos griegos trigōnos 'triángulo' y metron 'medida'.

Introducción a la trigonometría (5'48") Sinopsis:

Qué es a la trigonometría.
Triángulos: nomenclatura, propiedades y clasificación.

(Pág. 106)

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo agudo $\alpha \,$ , de la siguiente manera:

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:

$sen \, \alpha= \frac{c_o}{h} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}}$

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) al ángulo y la hipotenusa:

$cos \, \alpha= \frac{c_c}{h} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente:

$tg \, \alpha= \frac{c_o}{c_c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}$

Razones trigonométricas inversas

Las razones trigonométricas inversas se definen de la siguiente manera:

La cosecante (abreviado como csc o cosec), razón inversa del seno:

$cosec \, \alpha= \frac{1}{sen \, \alpha} = \frac{h}{c_o}$

La secante (abreviado como sec), razón inversa del coseno:

$sec \, \alpha= \frac{1}{cos \, \alpha} = \frac{h}{c_c}$

La cotangente (abreviado como cot), razón inversa de la tangente:

$cotg \, \alpha= \frac{1}{tg \, \alpha} = \frac{c_c}{c_o}$

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Tutorial 1 (7'59") Sinopsis:

Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Ejemplos.

Tutorial 2 (37'54") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja los conceptos más básicos de la trigonometría plana, resolviendo ejercicios sencillos en los que se aplican dichas definiciones.

00:00 a 13:05: Conceptos y definiciones básicas. Razones trigonométricas.
13:05 a 17:13: Propiedades básicas trigonométricas.
17:13 a 25:25: Ejercicios básicos (seno, coseno, tangente).
25:25 a 29:05: Ejercicios básicos (arcoseno, arcocoseno, arcotangente).
29:05 a 37:54: Problemas de Trigonometría.

Tutorial 3 (14'07") Sinopsis:

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Ejemplo.

Tutorial 4 (12'19") Sinopsis:

Las definiciones de las razones trigonométricas solo dependen de valor del ángulo y no del tamaño del triángulo.

Tutorial 5 (11'54") Sinopsis:

Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Ejemplos 1a (9'32") Sinopsis:

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Ejemplo.

Ejemplos 1b (13'14") Sinopsis:

Más ejemplos de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo Descripción:

En esta escena podrás ver como se calculan las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Actividad 1a Descripción:

Aprende a ubicar la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente de un triángulo rectángulo.

Actividad 1b Descripción:

Aprende a calcular las razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Autoevaluación Descripción:

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Relaciones fundamentales de la trigonometría

Relaciones fundamentales de la trigonometría

1. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1$ (Identidad pitagórica)

2. $tg \, \alpha =\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}$

3. $1+tg^2 \, \alpha =\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}$

Demostración:

1. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = \left ( \cfrac{c_o}{h} \right )^2 + \left ( \cfrac{c_c}{h} \right )^2 =\cfrac {c_o^2+c_c^2}{h^2}= \cfrac {h^2}{h^2}=1$

ya que, por el teorema de Pitágoras, $c_o^2+c_c^2=h^2\;$ .

2. $\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}=\cfrac{c_o}{h}:\cfrac{c_c}{h}=\cfrac{c_o}{c_c}=tg \, \alpha$

3. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1 \ \rightarrow \ \cfrac{sen^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}+ \cfrac{cos^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha} \ \rightarrow \ tg^2 \, \alpha+1=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}$

Identidades trigonométricas

Tutorial 1 (7´13") Sinopsis:

Demostración de las relaciones fundamentales de la trigonometría.

Tutorial 2 (7´08") Sinopsis:

Demostración de la identidad pitagórica.

Ejercicio 1 (9´45") Sinopsis:

Dada una de las razones trigonométricas de un ángulo, determinar las cinco restantes, haciendo uso de las relaciones fundamentales de la trigonometría.

a) $sen \, \mu = \cfrac{1}{3}$ ; b) $cos \, \mu = \cfrac{1}{2}$ ; c) $tg \, \mu = 2$

d) $cotg \, \mu = 1$ ; e) $sec \, \mu = 2$ ; f) $cosec \, \mu = 3$

Ejercicio 2 (3'41") Sinopsis:

Simplifica: $M=\sqrt{cotg^2 \theta + cos \, \theta \, \sqrt{1 + tg^2 \theta}}$

Ejercicio 3 (7'45") Sinopsis:

Comprueba las siguientes identidades trigonométricas:

a) $tg \, \alpha + cotg \, \alpha = sec \, \alpha \cdot cosec \, \alpha$

b) $2(1- cos^2 \alpha) + cos^2 \alpha = 1 + sen^2 \alpha\;$