Plantilla:Cálculo de límites en el infinito (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito
- 1.1 Ejercicios propuestos
2 Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito
3 Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito
4 Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito
- 4.1 Ejercicios propuestos

Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

Decimos que " $x\;$ tiende a + infinito" ( $x \rightarrow + \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores positivos tan grandes como queramos.
Decimos que " $x\;$ tiende a - infinito" ( $x \rightarrow - \infty$ ) cuando $x\;$ toma valores negativos tan pequeños como queramos.

Nota: A veces te podrás encontrar también la expresión " $x\;$ tiende a infinito" ( $x \rightarrow \infty$ ) cuando $x\;$ tiende, indistintamente, a + infinito o a - infinito. Nosotros intentaremos evitarlo para no crear confusión aunque eso nos suponga tener que escribir más.

Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a $+ \infty$ (o a $- \infty$ ) son los siguientes:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$ si cuando $x \to + \infty$ , los valores de $f(x)\;$ se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
$\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$ si cuando $x \to + \infty$ , los valores de $f(x)\;$ se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
$\lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R}$ si cuando $x \to + \infty$ , los valores de $f(x)\;$ se hacen tan proximos a $L\;$ como se quiera.

En este caso se dice que la recta $y=L\;$ es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.

En estas tres definiciones se puede cambiar $x \to +\infty$ por $x \to -\infty$ para obtener otras tres definiciones análogas.

Límite de una función en el infinito [Mostrar]

Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en $+ \infty$ y $- \infty$ , cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.

a) $f(x)= \cfrac{1}{x}$ b) $f(x)= x^3\;$ c) $f(x)= 2^x\;$ d) $f(x)= log \, x$ e) $f(x)= sen \, x$

Solución:[Mostrar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

(Pág. 282)

Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

Proposición

Sea $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\;$ una función polinómica en la variable x, de grado n.

Se cumple que:

$\lim_{x \to + \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \end{cases}$
$\lim_{x \to - \infty} P(x)= \lim_{x \to - \infty} a_nx^n = \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par} \\ +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es impar} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es par} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es impar} \end{cases}$

Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).

Ejemplos: [Mostrar]

Límite de un polinomio en el infinito [Mostrar]

Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

Proposición

Sea $P(x)\;$ una función polinómica en la variable x. Se cumple que:

$\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0$ (lo mismo si $x \to - \infty$ )

Ejemplos: [Mostrar]

Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito

Proposición

Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:

$\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;$

Se cumple que:

$\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}$ (análogamente si $x \to - \infty$ )

Se pueden dar los siguientes casos:

grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser $+ \infty$ ó $- \infty$ .
grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante, $\cfrac{a_n}{b_n}$ , que es el valor del límite.
grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.

Ejemplos: [Mostrar]

Límite de una función racional en el infinito [Mostrar]

Tutorial 1 (14'19") Sinopsis: [Mostrar]

Tutorial 2 (26'20") Sinopsis: [Mostrar]

Tutorial 3a (3'43") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 3b (3'55") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 3c (2'57") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 4 (11'23") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 1a (5'16") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 1b (5'40") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 1c (4'32") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2a (8'40") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2b (11'01") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2c (15'16") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2d (7'47") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3a (7'55") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3b (5'24") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3c (8'02") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 3d (11'08") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Cálculo de límites cuando x tiende a (+/-) infinito

(Pág. 283-284)

1, 4, 5

2, 3

(Pág. 285)

1, 2

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:C%C3%A1lculo_de_l%C3%ADmites_en_el_infinito_%281%C2%BABach%29"

 ==Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\;</math> una función polinómica en la variable x, de grado n.
+{{Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a infinito}}
-Se cumple que:
-*<math>\lim_{x \to + \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \end{cases}</math>
-*<math>\lim_{x \to - \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n =
-\begin{cases}
-+\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par}
-\\
-+\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \ \mbox{y n es impar}
-\\
--\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \ \mbox{y n es par}
-\\
--\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0  \ \mbox{y n es impar}
-\end{cases}</math>
-}}
-{{p}}
-Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).
-{{p}}
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=
-*<math>\lim_{x \to + \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty</math>
-*<math>\lim_{x \to + \infty} -3x^4-2x^2 = - \infty</math>
-*<math>\lim_{x \to - \infty} -2x^3-2x^2 = + \infty</math>
-*<math>\lim_{x \to - \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty</math>
-*<math>\lim_{x \to - \infty} -2x^2-2x^2 = - \infty</math>
-*<math>\lim_{x \to - \infty} 2x^3-2x^2 = - \infty</math>
-}}
-{{p}}
-{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Límite de un polinomio en el infinito
-|duracion=9'59"
-|sinopsis=Al calcular el límite de un polinomio en el infinito (x → +∞ ó x → -∞) sólo debes preocuparte del sumando de mayor grado, pues es él quien corta el bacalao.
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/16-limites-de-funciones/10-limite-de-un-polinomio-en-el-infinito-3
-}}
 ==Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito==

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Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

Ejercicios propuestos

Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito

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