Límite de una función (2ºBach)

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Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.

De manera informal, diremos que una función $f ~$ tiene límite $L~$ en $c~$ , o que $f ~$ tiende a $L ~$ cuando x $x~$ se acerca a $c ~$ si se puede hacer que $f(x)~$ esté tan cerca como queramos de $L ~$ haciendo que $x~$ esté suficientemente cerca de $c~$ , siendo $x~$ distinto de $c~$ .

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función $f(x)\;$ , cuando $x~$ tiende a $c~$ , es $L ~$ , si y sólo si, para todo $\varepsilon > 0 \;$ , existe un $\delta > 0 \;$ , tal que para todo número real $x~$ en el dominio de la función, si $0 < |x-c| < \delta \;$ entonces $|f(x)-L| < \varepsilon \;$ .

Esto, escrito en notación formal:

$\lim_{x\to c} \, \,f(x) = L$ $\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}(f), \,\,0<|x-c|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.

Límite de una función en un punto

Demostrar que $\lim_{x\to 2}(3x-5)=1$ usando la definición formal de límite.

Solución:

Utilicemos entonces la definición, debemos demostrar que para cualquier $\varepsilon$ dado podemos hallar un $δ$ para el cual se cumple

{{{fórmula}}}

{{{ref}}}

Tomando $\textstyle\delta = \frac{1}{3}\varepsilon$ es posible probar esto. Es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier $\varepsilon$ dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.

Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis $\textstyle 0<|x-2|<\frac{1}{3}\varepsilon$ .

Veamos que $| (3 x - 5) - 1 | = | 3 x - 6 | = 3 | x - 2 |$ , luego por hipótesis $\textstyle 3|x-2|<3\frac{1}{3}\varepsilon=\varepsilon$ y queda demostrado Plantilla:Eqnref.

Nótese que bien podríamos haber elegido $\delta=\frac{1}{6}\varepsilon$ o $\delta=\frac{1}{15}\varepsilon$ , por ejemplo. En tanto $\delta\leq\frac{1}{3}\varepsilon$ , siempre podremos demostrar Plantilla:Eqnref.

Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n_%282%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Funciones

 |celda1=El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.
-De manera informal, diremos que una función <math>f ~</math> tiene límite <math>L~</math> en <math>c~</math> , o que <math>f ~</math> tiende a <math>L ~</math> cuando x se acerca a <math>c ~</math> si se puede hacer que <math>f(x)~</math> esté tan cerca como queramos de <math>L ~</math> haciendo que <math>x~</math> esté suficientemente cerca de <math>c~</math>, siendo <math>x~</math> distinto de <math>c~</math>.
+De manera informal, diremos que una función <math>f ~</math> tiene límite <math>L~</math> en <math>c~</math> , o que <math>f ~</math> tiende a <math>L ~</math> cuando x<math>x~</math> se acerca a <math>c ~</math> si se puede hacer que <math>f(x)~</math> esté tan cerca como queramos de <math>L ~</math> haciendo que <math>x~</math> esté suficientemente cerca de <math>c~</math>, siendo <math>x~</math> distinto de <math>c~</math>.
 }}
 Los conceptos ''cerca'' y ''suficientemente cerca'' son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
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 }}
-[[Imagen:Limite02.gif|thumb|250px|Tomando valores arbitrarios de ''ε'', podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que ''f''(''x'') y ''L'' se acerquen a medida que ''x'' se acerca a ''c''.]]
+{{Tabla75|celda2=
+[[Imagen:Limite02.gif|thumb|250px|center|Tomando valores arbitrarios de ''ε'', podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que ''f''(''x'') y ''L'' se acerquen a medida que ''x'' se acerca a ''c''.]]
+|celda1=
 Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un [[punto de acumulación]] del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.
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+{{Ejemplo|titulo=Límite de una función en un punto|enunciado=Demostrar que <math>\lim_{x\to 2}(3x-5)=1</math> usando la definición formal de límite.
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+Utilicemos entonces la definición, debemos demostrar que para cualquier <math>\varepsilon</math> dado podemos hallar un <math>\delta</math> para el cual se cumple {{Ecuación|<math>0<|x-2|<\delta \Rightarrow |(3x-5)-1|<\varepsilon</math>|*}}
+Tomando <math>\textstyle\delta = \frac{1}{3}\varepsilon</math> es posible probar esto. Es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier <math>\varepsilon</math> dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.
+Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis <math>\textstyle 0<|x-2|<\frac{1}{3}\varepsilon</math>.
+Veamos que <math>|(3x-5)-1|=|3x-6|=3|x-2|</math>, luego por hipótesis <math>\textstyle 3|x-2|<3\frac{1}{3}\varepsilon=\varepsilon</math> y queda demostrado {{Eqnref|*}}.
+Nótese que bien podríamos haber elegido <math>\delta=\frac{1}{6}\varepsilon</math> o <math>\delta=\frac{1}{15}\varepsilon</math>, por ejemplo. En tanto <math>\delta\leq\frac{1}{3}\varepsilon</math>, siempre podremos demostrar {{Eqnref|*}}.
+}}
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 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]

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