Límite de una función (2ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 12:16 22 jun 2017
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Definición formal de límite)
← Ir a diferencia anterior
Revisión de 12:20 22 jun 2017
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Funciones sin límite en un punto)
Ir a siguiente diferencia →
Línea 100: Línea 100:
:<math> :<math>
D(x) = \begin{cases} D(x) = \begin{cases}
-c & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{racional} \\+c & \mathrm{si \ } x \, \in \mathbb{Q} \\
-d & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{irracional} \\+d & \mathrm{si \ } x \, \in \mathbb{I} \\
\end{cases}</math> \end{cases}</math>
no tiene ningún número <math>a\;</math> en el dominio para el cual exista el <math>\lim_{x \to a}f(x).</math> no tiene ningún número <math>a\;</math> en el dominio para el cual exista el <math>\lim_{x \to a}f(x).</math>
-|sol=Para demostrar la anterior afirmación, es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.+|sol=Para demostrar la anterior afirmación, es necesario hacer uso del hecho de que cualquier intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.
}} }}
Línea 115: Línea 115:
|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-diferencial-de-una-variable/02-limites-de-funciones/09-funciones-sin-limite-en-un-punto |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-diferencial-de-una-variable/02-limites-de-funciones/09-funciones-sin-limite-en-un-punto
}} }}
- 
- 
==Límites laterales== ==Límites laterales==

Revisión de 12:20 22 jun 2017

Tabla de contenidos

Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.

Definición informal de límite

De manera informal, diremos que una función f ~ tiene límite L~ en c~ , o que f ~ tiende a L ~ cuando x~ se acerca a c ~, si se puede hacer que f(x)~ esté tan cerca como queramos de L ~, haciendo que x~ esté suficientemente cerca de c~, pero sin llegar a c~.

Definición formal de límite

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x)\;, cuando x~ tiende a c~, es L ~, si y sólo si, para todo \varepsilon > 0 \;, existe un \delta > 0 \;, tal que para todo número real x~ del dominio de la función, si 0 < |x-c| < \delta \;, entonces |f(x)-L| < \varepsilon \;.

En notación formal:

\lim_{x\to c}  \, \,f(x) = L\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}(f), \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Aumentar
Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.
Aumentar
Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.
ejercicio

Límite de una función en un punto


Demostrar que \lim_{x\to 2}(3x-5)=1 usando la definición formal de límite.

Funciones sin límite en un punto

ejercicio

Función sin límite


La función de Dirichlet, D:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida como:

D(x) = \begin{cases} c & \mathrm{si \ } x \, \in \mathbb{Q} \\ d & \mathrm{si \ } x \, \in \mathbb{I} \\ \end{cases}

no tiene ningún número a\; en el dominio para el cual exista el \lim_{x \to a}f(x).

Límites laterales

Límites infinitos

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda